u'=tan(tu)
Posted: Saturday 28 May 2016, 16:32
Ho problemi con il seguente esercizio:
Dimostrare che l'equazione differenziale
\(u'=\tan(tu)\) ha infinite soluzioni definite per \(t>0\).
Come prima cosa osservo che \(u(t)\equiv 0\) è soluzione e poi facendo uno studio sul segno della derivata, si ha che questa cambia segno sulle curve \(y=\frac{k\pi}{t}\). Inoltre le soluzioni non sono definite sulle curve \(y=\frac{\pi}{t}(\frac{2k+1}{2})\).
Ora io speravo che almeno la curva \(y=\frac{\pi}{2t}-\varepsilon\) fosse una soprasoluzione, di modo che con qualunque dato iniziale abbastanza piccolo ci fosse una soluzione tra l'asse \(t\) e la curva che andasse a \(0\).
Purtroppo pare non sia vero (o io non sono riuscito a dimostrarlo).
Suggerimenti?
Dimostrare che l'equazione differenziale
\(u'=\tan(tu)\) ha infinite soluzioni definite per \(t>0\).
Come prima cosa osservo che \(u(t)\equiv 0\) è soluzione e poi facendo uno studio sul segno della derivata, si ha che questa cambia segno sulle curve \(y=\frac{k\pi}{t}\). Inoltre le soluzioni non sono definite sulle curve \(y=\frac{\pi}{t}(\frac{2k+1}{2})\).
Ora io speravo che almeno la curva \(y=\frac{\pi}{2t}-\varepsilon\) fosse una soprasoluzione, di modo che con qualunque dato iniziale abbastanza piccolo ci fosse una soluzione tra l'asse \(t\) e la curva che andasse a \(0\).
Purtroppo pare non sia vero (o io non sono riuscito a dimostrarlo).
Suggerimenti?
