4. (a) Scrivere il polinomio p(z)= z^6+4z^2 come prodotto di fattori di primo grado (a coefficenti complessi)
(b) Determinare la soluzione generale dell'equazione differenziale
Una volta fatta la fattorizzazione di primo grado , avremo un polinomio del tipo:
P(z) = x * x * (x-z3) (x-z4) (x-z5) (x-z6)
sostituendo :
P(z) = x * x * (x-1-i) (x+1+i) (x+1-i) (x-1+i)
dopodiche si passa all'esercizio (b), ne quale avrò bisogno della fattorizzazione reale, per calcolare le radici della omogenea associata.
E fin qui nessun problema (o almeno spero), ora iniziano i dubbi:
per calcolare la soluzione generale dell'omogenea associata, trovo le soluzioni specifiche per ogni fattore, e dopodiche le unisco tutte insieme
x^2 soluzione : a+b t
soluzione : 
soluzione : 
unendole tutte e tre avremo la soluzione genrale della omogenea :
p(z)=
Proseguendo dovrò calcolare una soluzione qualunque della non omogenea, usando il metodo dell'indovino (per tentativi)
siccome la non omogenea è composta da 2 termini :
Come devo fare?
io ho provato, a fare un unico tentativo che comprenda sia t^2 sia e^t
siccome nella prima parte della differenziale, abbiamo un sesto grado della derivata, allora il tentativo per il polinomio t^2 sarà di sesto grado invece che di secondo:
il tentativo per la soluzione della non omogenea sarà:
u(t) =
e ora derivo sei volte:
sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo:
da qui come bisogna procedere, ammesso che il procedimento adottato fino ad adesso sia giusto.
Grazie in anticipo