Spazio soluzioni delle equazioni differenziali lineari

[keine_ahnung]

Buongiorno,

Avrei un dubbio sulle equazioni differenziali lineari.

Nella lezione 78 di AM1_17 si dice che una soluzione di un equazione differenziale lineare esiste finché può, cioè che se tutti i suoi coefficienti sono definiti e continui in un intervallo comune \((a,b)\) allora la soluzione esiste in tutto \((a,b)\).

La cosa che non mi è chiara è quando si dimostra che lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione pari all'ordine dell'equzione, e per fare ciò si usa il teorema di esistenza e unicità. Per usare questo teorema non bisognerebbe prima verificare che l'equazione lineare è lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in tutto \((a,b)\)? Per esempio nel caso avessimo un'equazione del tipo:

\(u'(t) = (1/t) * u(t)\)

restringendoci alle \(t\) positive, questa equazione avrebbe soluzioni definite per tutti i \(t\) positivi, in quanto \(f\) è continua, ma come facciamo a concludere che la soluzione è unica? Sbaglio o la \(f\) in questo caso non sarebbe lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in quanto il coefficiente \(1/t\) tende a più infinito per \(t\) che va a \(0\)?

Si può comunque concludere che la soluzione è unica perché ci si restringe a intervalli chiusi \([a,b]\) e data l'arbitrarietà dell'intervallo chiuso allora possiamo concludere che vale su tutto \((a,b)\)? E' giusto?

Se qualcuno mi potesse per favore chiarire questo dubbio ne sarei molto grato.

Grazie

[Massimo Gobbino]

Si può comunque concludere che la soluzione è unica perché ci si restringe a intervalli chiusi \([a,b]\) e data l'arbitrarietà dell'intervallo chiuso allora possiamo concludere che vale su tutto \((a,b)\)? E' giusto?

Esattamente.

[keine_ahnung]

Grazie mille!

[Massimo Gobbino]

Se poi vogliamo essere più risparmiosi, bisogna dire che non serve davvero la continuità dei coefficienti, per lo meno se ci accontentiamo di soluzioni AC, ma basta che i coefficienti siano \(L^1_{\mathrm{loc}}\).