An2 2017/18 - Lezione 116 - Dimostrazione del criterio di esistenza globale via Osgood

[Diego148]

Buongiorno, volevo chiedere, se possibile, più dettagli (o almeno dove poterli reperire) sulla dimostrazione del criterio di esistenza globale scritto alla fine della quinta pagina della lezione 116 del corso di analisi 2 del 2017/18, ovvero: se la \(f\) che definisce il problema di Cauchy rispetta la condizione \(||f(t,u)|| \leq A(t) + B(t) g(u)\) (con \(g\) tale che l'inetgrale di \(1/g(u)\) con problema a \(+\infty\) diverge (nella lezione credo che ripetere \(f\) al RHS sia un typo)), allora il problema ha esistenza globale per ogni dato iniziale.
Ho tentato di procedere analogamente a come si fa per \(||f(t,u)|| \leq A(t) + B(t) ||u||\), ovvero definisco \(w(t) := ||u(t)||^2\), e osservo che:
\(\begin{align}
w'(t) &= 2\langle u(t), u'(t)\rangle \\
&\leq 2||u(t)|| \cdot||u'(t)|| &&(\text{Cauchy-Schwarz}) \\
&\leq 2||u(t)||(A(t) + B(t) g(u)) &&(\text{ipotesi})\\
&= 2||u(t)||A(t) + 2||u(t)||B(t)g(u) \\
&\leq ||u(t)||^2+(A(t))^2 + 2||u(t)||B(t)g(u) &&(2xy \leq x^2 + y^2) \\
&\leq ||u(t)||^2+(A(t))^2 + ||u(t)||^2 + (B(t))^2(g(u))^2 &&(2xy \leq x^2 + y^2) \\
&= 2w(t) + (A(t))^2 + (B(t))^2(g(u))^2 &&(\text{definizione di $w(t)$})
\end{align}\)
l'idea sarebbe come al solito arrivare ad una soprasoluzione che non ha blow up e che quindi mi permette di escludere il blow up di \(u(t)\) e concludere. Tuttavia non saprei come andare avanti per ridurmi ad una ODE con soltanto \(w(t)\) (e tra l'altro elevare al quadrato \(g(u)\) può compromettere che l'integrale diverga, quindi probabilmente non bisonga andare avanti così).
Grazie mille per un'eventuale risposta

[Massimo Gobbino]

Passare ai quadrati in questo caso è misleading. Provo a dare qualche hint, ma se serve posso aggiungere dettagli.

1 -- Se fosse \(A(t)\equiv 0\) e \(B(t)\equiv 1\), lo sapresti fare? Basta ripetere la dimostrazione che si fa per le equazioni a variabili separabili (o per lo meno in quel modo si costruisce la soprasoluzione, e per la sottosoluzione è uguale).

2 -- Cambia qualcosa se si sa solo che \(A(t)\equiv 0\) ?

3 -- E se uno sa solo che \(|A(t)|\leq A_0\) e \(|B(t)|\leq B_0\) ?

[Diego148]

Passare ai quadrati in questo caso è misleading. Provo a dare qualche hint, ma se serve posso aggiungere dettagli.

1 -- Se fosse \(A(t)\equiv 0\) e \(B(t)\equiv 1\), lo sapresti fare? Basta ripetere la dimostrazione che si fa per le equazioni a variabili separabili (o per lo meno in quel modo si costruisce la soprasoluzione, e per la sottosoluzione è uguale).

Sperando di non star dicendo stupidaggini e di avere interpretato correttamente gli hint, in questo caso ho \(w'(t) \leq 2||u(t)||g(u)\), a questo punto voglio risolvere \(v'(t) = 2 ||v(t)||g(v)\), imitando la costruzione che si fa nella dimostrazione per le equazioni a variabili separabili. Da cui ottengo:
\(\displaystyle\int_{v(t_0)}^{v(t)} \frac{1}{g(s)}\text ds = \int_{t_0}^t 2||v(t)||\text dt \)
L'ipotesi che l'integrale al LHS diverge ci garantisce che tale uguaglianza tiene anche per \(t\) grandi (precisamente fin dove potrà essere definita la soluzione). Ora chiamo \(\Gamma\) una primitiva di \(1/g\) e \(F\) una primitiva di \(2||v(t)||\) e quindi ottengo:
\(\Gamma(v(t)) - \Gamma(v(t_0)) = F(t) - F(t_0) \implies \Gamma(v(t)) = F(t) + \Gamma(v(t_0)) - F(t_0) \implies v(t) = \Gamma^{-1}(F(t) + \Gamma(v(t_0)) - F(t_0))\)
(l'invertibilità di \(\Gamma\) è dovuta al fatto di essere monotona come nella dimostrazione sopracitata). A questo punto non resterebbe che verificare che \(v(t)\) non ha blow up, ma non sono sicuro di come ciò debba essere fatto (magari osservando dalla relazione tra l'integrale della sua norma e quello di \(1/g\) che il LHS non ha blow up per \(t\) finito, anche se non mi sembra molto corretto ragionare così).

2 -- Cambia qualcosa se si sa solo che \(A(t)\equiv 0\) ?

Se il ragionamento sopra è quello corretto la dimostrazione funziona ugualmente e la costante viene inglobata in \(F\), per cui continuerebbe a funzionare lo stesso argomento.

3 -- E se uno sa solo che \(|A(t)|\leq A_0\) e \(|B(t)|\leq B_0\) ?

In questo caso \(w'(t) \leq 2||u(t)||(A_0 + B_0g(u))\) e non saprei se tentare un'ulteriore disuguaglianza dall'alto (per avere qualcosa del tipo \(2||u(t)||C_0g(u)\) e ricadere nel caso precedente), oppure tentare di risolvere l'ODE al RHS così com'è, ma mi pare abbastanza scomodo.
Grazie ancora per la disponibilità