Formalizzare un'osservazione sul baricentro dei solidi di rotazione

[EstOmBIFy]

Supponiamo di avere una figura \(\Bbb F\) nel piano –per semplicità– (y, z); e di ruotarla di un angolo \(\alpha\) attorno all'asse \((z)\). A volte capita che non sia necessario calcolare esplicitamente la coordinata (z) del baricentro; infatti appare evidente per ragioni geometriche.

Ad esempio:

• \(\Bbb F = \{(y-2)^2 + (z-2)^2\le 1\}\)
• \(\Bbb F = \{\max\{y - z, z + y -2\}\le 0, y \ge 0, z \ge 0\}\)

In entrambi i casi mi sembra chiaro che le coordinate \((z)\) del baricentro siano (2, 1) rispettivamente —e risultano tali facendo i conti—.

Perché mi sarei potuto aspettare un tale risultato?