Formalizzare un'osservazione sul baricentro dei solidi di rotazione

[EstOmBIFy]

Supponiamo di avere una figura $\Bbb F$ nel piano –per semplicità– (y, z); e di ruotarla di un angolo $\alpha$ attorno all'asse $(z)$. A volte capita che non sia necessario calcolare esplicitamente la coordinata (z) del baricentro; infatti appare evidente per ragioni geometriche.

Ad esempio:

• $\Bbb F = \{(y-2)^2 + (z-2)^2\le 1\}$
• $\Bbb F = \{\max\{y - z, z + y -2\}\le 0, y \ge 0, z \ge 0\}$

In entrambi i casi mi sembra chiaro che le coordinate $(z)$ del baricentro siano (2, 1) rispettivamente —e risultano tali facendo i conti—.

Perché mi sarei potuto aspettare un tale risultato?