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Professore buonasera, nella lezione 30 (lockdown edition) ho provato a svolgere l'integrale dell'esempio 5, risolvendo

\(\displaystyle\iint_{}^{} \left(u^2+\frac{v^2}{4}\right) du\,dv \)

direttamente con le coordinate polari. Poi guardando il video della lezione ho scoperto che per simmetria l'integrale era uguale a

\(\displaystyle{5 \over 4} \iint_{}^{} \, u^2 du\,dv \).

Ho provato a ragionare su questa affermazione e per un "fatto di conti" mi torna, ma non capisco qual è la spiegazione più rigorosa.

PS: nella soluzione dell'esempio 5 c'è un errore di calcolo

\(\displaystyle\left({v \over 2}+{5 \over 8}\right)^2 = {v^2 \over 4}+{25 \over 64}+{5 \over 8}v\)

e non

\(\displaystyle{v^2 \over 4}+{25 \over 16}+{5v \over 8} \)

[EDIT by Massimo Gobbino: spostato nella sezione giusta]

Intanto grazie per la correzione del typo, che ho aggiunto all'errata corrige del corso.

Quanto alla domanda specifica, il miglior modo di vederlo è osservare che la trasformazione \((u,v)\to(v,u)\), che poi è la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, manda la circonferenza in sé e scambia tra di loro le funzioni \(u^2\) e \(v^2\).

Volendo essere super-rigorosi quello che c'è sotto è la formula di cambio di variabili descritta dalla trasformazione stessa: la funzione \(u^2\) diventa \(v^2\), l'insieme resta lo stesso, ed il determinante Jacobiano è 1. Tuttavia sarebbe un po' come giustificare che una funzione dispari ha integrale nullo in [-4,4] usando formalmente il cambio di variabili.

Grazie del chiarimento