Integrale improprio parametrico
Posted: Sunday 26 April 2020, 15:41
Salve, vorrei proporre la soluzione del seguente esercizio.
Stabilire per quali valori del parametro \(a>0\) il seguente integrale risulta convergente:
\(\iint_A\frac{\lvert\cos(x)\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy\)
dove l'insieme dato è
\(A=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\le1,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}\)
Allora, sull'insieme \(A\) è \(0\le x\le 1\). Dunque, dovrebbero valere le seguenti relazioni:
\({\lvert{\cos(x)}\rvert}^a=\cos^a(x)\ge\Bigl(1-\frac{x^2}{2}\Bigr)^a\ge 1-\frac{a}{2}x^2\)
da cui segue che
\(\iint_A\frac{\lvert\cos(x)\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy\ge\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy-\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy\)
Adesso, il primo integrale a destra diverge \(\forall a>0\). Infatti, abbiamo che
\(\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\int_0^1\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
dove l'integrale in \(\theta\) è un numero >0, in quanto integrale proprio di funzione continua >0 su intervallo limitato; mentre l'integrale in \(\rho\) diverge, essendo uguale a
\(\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Bigl(\frac{1}{\varepsilon}-1\Bigr)=+\infty\)
Il secondo integrale a destra, invece, converge \(\forall a>0\), essendo uguale a
\(\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\frac{a}{2}\int_0^1\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta=\frac{a}{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
dove anche in questo caso, per motivazioni identiche a quelle sopra espresse, l'integrale in \(\theta\) converge \(\forall a>0\)
A questo punto, se sono valide le considerazioni iniziali, è lecito affermare che, per la proprietà di linearità, l'integrale dato non converge per alcun valore di \(a\) ?
Grazie in anticipo per le correzioni ed eventuali suggerimenti ..
Stabilire per quali valori del parametro \(a>0\) il seguente integrale risulta convergente:
\(\iint_A\frac{\lvert\cos(x)\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy\)
dove l'insieme dato è
\(A=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\le1,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}\)
Allora, sull'insieme \(A\) è \(0\le x\le 1\). Dunque, dovrebbero valere le seguenti relazioni:
\({\lvert{\cos(x)}\rvert}^a=\cos^a(x)\ge\Bigl(1-\frac{x^2}{2}\Bigr)^a\ge 1-\frac{a}{2}x^2\)
da cui segue che
\(\iint_A\frac{\lvert\cos(x)\rvert^a}{{\lvert{x}\rvert}^3+{\lvert{y}\rvert}^3}\,dx\,dy\ge\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy-\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy\)
Adesso, il primo integrale a destra diverge \(\forall a>0\). Infatti, abbiamo che
\(\iint_A\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\int_0^1\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
dove l'integrale in \(\theta\) è un numero >0, in quanto integrale proprio di funzione continua >0 su intervallo limitato; mentre l'integrale in \(\rho\) diverge, essendo uguale a
\(\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Bigl(\frac{1}{\varepsilon}-1\Bigr)=+\infty\)
Il secondo integrale a destra, invece, converge \(\forall a>0\), essendo uguale a
\(\frac{a}{2}\iint_A\frac{x^2}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\frac{a}{2}\int_0^1\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta=\frac{a}{2}\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^2(\theta)}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
dove anche in questo caso, per motivazioni identiche a quelle sopra espresse, l'integrale in \(\theta\) converge \(\forall a>0\)
A questo punto, se sono valide le considerazioni iniziali, è lecito affermare che, per la proprietà di linearità, l'integrale dato non converge per alcun valore di \(a\) ?
Grazie in anticipo per le correzioni ed eventuali suggerimenti ..
