Integrale su dominio illimitato
Posted: Thursday 16 April 2020, 14:15
Salve, mi trovo a risolvere il seguente esercizio:
devo dimostrare che l'integrale improprio
\(\displaystyle\iint_D\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy\)
non converge sull'insieme
\(D=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge1,\,y\ge1\bigr\}\)
Io ho provato a risolverlo in questo modo, tuttavia mi farebbe piacere se qualcuno vi desse un'occhiata per correggere eventuali errori o confermarne la correttezza.
Sia C il sottoinsieme proprio di D tale che
\(C=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge1,\,1\le y\le x\bigr\}\)
allora abbiamo che
\(\displaystyle\iint_D\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy\ge\iint_C\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx\int_1^x\frac{2y/x}{1+(y^2/x)^2}\,dy=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl[\arctan(y^2/x)\bigr]_1^x\,dx=\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl[\arctan(x)-\arctan(1/x)\bigr]\,dx\)
Adesso, per la relazione
\(\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2\quad\text{ per }\quad x>0\)
segue che l'integrale diventa
\(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl(\arctan(x)-\frac{\pi}{4}\bigr)\,dx\)
Successivamente, per il criterio del confronto asintotico, abbiamo che
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)-\pi/4}{x}\cdot\frac{4x}{\pi}=1\implies\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl(\arctan(x)-\frac{\pi}{4}\bigr)\,dx\sim\frac{\pi}{4}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{a\to +\infty}\frac{\pi}{4}\log(a)=+\infty\)
Dunque, l'integrale non converge su D.
Grazie per eventuali risposte.
devo dimostrare che l'integrale improprio
\(\displaystyle\iint_D\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy\)
non converge sull'insieme
\(D=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge1,\,y\ge1\bigr\}\)
Io ho provato a risolverlo in questo modo, tuttavia mi farebbe piacere se qualcuno vi desse un'occhiata per correggere eventuali errori o confermarne la correttezza.
Sia C il sottoinsieme proprio di D tale che
\(C=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge1,\,1\le y\le x\bigr\}\)
allora abbiamo che
\(\displaystyle\iint_D\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy\ge\iint_C\frac{y}{x^2+y^4}\,dx\,dy=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx\int_1^x\frac{2y/x}{1+(y^2/x)^2}\,dy=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl[\arctan(y^2/x)\bigr]_1^x\,dx=\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl[\arctan(x)-\arctan(1/x)\bigr]\,dx\)
Adesso, per la relazione
\(\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2\quad\text{ per }\quad x>0\)
segue che l'integrale diventa
\(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl(\arctan(x)-\frac{\pi}{4}\bigr)\,dx\)
Successivamente, per il criterio del confronto asintotico, abbiamo che
\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan(x)-\pi/4}{x}\cdot\frac{4x}{\pi}=1\implies\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\bigl(\arctan(x)-\frac{\pi}{4}\bigr)\,dx\sim\frac{\pi}{4}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{a\to +\infty}\frac{\pi}{4}\log(a)=+\infty\)
Dunque, l'integrale non converge su D.
Grazie per eventuali risposte.
