Convergenza di integrale improprio
Posted: Tuesday 25 February 2020, 11:09
Salve, devo dimostrare la convergenza del seguente integrale improprio:
\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy\)
dove l'insieme dato è
\(B=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\ge 1,\,x\ge 0,\,y\ge 0\bigr\}\)
Io ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
passando direttamente a coordinate polari, otteniamo che
\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
Essendo ora
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
un numero, in quanto integrale proprio di funzione continua su intervallo limitato, ed essendo
\(\displaystyle\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho=\lim_{a\to +\infty}\Bigl(1-\frac{1}{a}\Bigr)=1\)
segue che l'integrale dato converge.
A questo punto, volevo sapere se le considerazioni fatte durante lo svolgimento sono corrette e sufficienti per dimostrare quanto richiesto, senza fare ulteriori osservazioni sull'insieme \(B\) e senza maggiorazioni ( minorazioni ) della funzione integranda. Ogni altra strategia risolutiva che io abbia adottato, ha portato ad un niente di fatto.
Grazie in anticipo per eventuali correzioni, suggerimenti e indicazioni.
\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy\)
dove l'insieme dato è
\(B=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\ge 1,\,x\ge 0,\,y\ge 0\bigr\}\)
Io ho provato a risolvere l'esercizio nel seguente modo:
passando direttamente a coordinate polari, otteniamo che
\(\displaystyle\iint_B\frac{1}{x^3+y^3}\,dx\,dy=\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
Essendo ora
\(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\cos^3(\theta)+\sin^3(\theta)}\,d\theta\)
un numero, in quanto integrale proprio di funzione continua su intervallo limitato, ed essendo
\(\displaystyle\lim_{a\to +\infty}\int_1^a\frac{1}{\rho^2}\,d\rho=\lim_{a\to +\infty}\Bigl(1-\frac{1}{a}\Bigr)=1\)
segue che l'integrale dato converge.
A questo punto, volevo sapere se le considerazioni fatte durante lo svolgimento sono corrette e sufficienti per dimostrare quanto richiesto, senza fare ulteriori osservazioni sull'insieme \(B\) e senza maggiorazioni ( minorazioni ) della funzione integranda. Ogni altra strategia risolutiva che io abbia adottato, ha portato ad un niente di fatto.
Grazie in anticipo per eventuali correzioni, suggerimenti e indicazioni.
