Dubbio su integrale improprio

[Federico.M]

Salve, ho un dubbio riguardo la convergenza di un integrale improprio. l'esercizio è il seguente:
Stabilire la convergenza dell'integrale dato sull'insieme \(B=\bigl\{(x,y)\colon x^2+y^2\le 1,\, x\ge 0,\, y\ge 0\bigr\}\)
\(\iint_B\frac{e^{x^2}-\cos(xy)}{x^2+y^2}\,dx\,dy\)
Adesso, essendo la funzione integranda uguale a
\(f(x,y)=\frac{e^{x^2}-1}{x^2+y^2}+\frac{1-\cos(xy)}{x^2+y^2}\)
è corretto affermare che, se convergono gli integrali dei due termini, allora per linearità converge anche l'integrale dato ?
Il primo termine dovrebbe convergere perché
\(e^{x^2}-1\le 2x^2\) sull'insieme \(B\)
mentre il secondo perché
\(1-\cos(xy)\le x^2y^2\)
Grazie in anticipo per eventuali risposte.

[ghisi]

Si è sostanzialmente corretto. Per quanto riguarda le costanti nelle stime: se le usi esplicite dovresti dimostrare le stime corrispondenti. Ad esempio dovresti dimostrare che in \([0,1]\) si ha \(e^{x^2} - 1 \leq 2x^2\), mentre se usi che in \([0,1]\) si ha \(e^{x^2} - 1 \leq Cx^2\), per una qualche costante C, non devi dimostrare nulla.

[Federico.M]

Grazie per la risposta professoressa..