Dubbio su integrale improprio

[Federico.M]

Salve, ho un dubbio riguardo la convergenza di un integrale improprio. l'esercizio è il seguente:
Stabilire la convergenza dell'integrale dato sull'insieme $B=\bigl\{(x,y)\colon x^2+y^2\le 1,\, x\ge 0,\, y\ge 0\bigr\}$
$\iint_B\frac{e^{x^2}-\cos(xy)}{x^2+y^2}\,dx\,dy$
Adesso, essendo la funzione integranda uguale a
$f(x,y)=\frac{e^{x^2}-1}{x^2+y^2}+\frac{1-\cos(xy)}{x^2+y^2}$
è corretto affermare che, se convergono gli integrali dei due termini, allora per linearità converge anche l'integrale dato ?
Il primo termine dovrebbe convergere perché
$e^{x^2}-1\le 2x^2$ sull'insieme $B$
mentre il secondo perché
$1-\cos(xy)\le x^2y^2$
Grazie in anticipo per eventuali risposte.

[ghisi]

Si è sostanzialmente corretto. Per quanto riguarda le costanti nelle stime: se le usi esplicite dovresti dimostrare le stime corrispondenti. Ad esempio dovresti dimostrare che in $[0,1]$ si ha $e^{x^2} - 1 \leq 2x^2$, mentre se usi che in $[0,1]$ si ha $e^{x^2} - 1 \leq Cx^2$, per una qualche costante C, non devi dimostrare nulla.

[Federico.M]

Grazie per la risposta professoressa..