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Salve, vorrei chiedere una conferma sul seguente svolgimento o di eventuali errori commessi e magari dei consigli per lo svolgimento del seguente integrale:

Sia \(M=\{(u,v,w)\in\mathbb{R}^3: 0\leq u,0\leq v, 0 \leq w\leq \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}-1 \}\)

Calcolare, \(\int_{M} w \max\{u,v\} dudvdw\)

Utilizzo le coordinate cilindriche

\(\begin{cases}
u = \rho \cos(\theta)\\
v = \rho \sin(\theta) \qquad \rho\geq 0, \ \theta\in[0,2\pi]\\
w = w\\
\end{cases}\)

\(|J|= \rho\)

Riscrivo le condizioni e ottengo

\(M' = \{(\rho, \theta, w): 0\leq\rho\leq 1, \theta\in[0,\frac{\pi}{2}], 0 \leq w \leq \frac{1}{\rho}-1 \}\)

Per definizione, \(\max(\rho\cos\theta,rho\sin\theta)= \begin{cases}
\rho\cos\theta \ \text{se} \ \rho\cos\theta\geq \rho\sin\theta\\
\rho\sin\theta \ \text{se} \ \rho\cos\theta < \rho\sin\theta \\
\end{cases}\)

Dato che
\(\rho\cos\theta\geq \rho\sin\theta \iff \theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\)
\(\rho\cos\theta < \rho\sin\theta \iff \theta\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\)

Allora riscrivo l'integrale secondo l'angolo \(\theta\), cioè se \(\theta\in[0,\frac{\pi}{4}]\)
\(\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} w \rho\cos(\theta)\rho \ d\theta dwd\rho\)

se \(\theta\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\) allora

\(\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{\frac{1}{\rho} -1} \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} w \rho\sin(\theta)\rho \ d\theta dwd\rho\)

In seguito calcolo i due integrali tripli. Grazie per l'aiuto

Si, è corretto.