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Salve, ho il seguente esercizio da risolvere:
Calcolare l'integrale triplo sull'insieme \(D=\{(x,y,z)\in R^3\,:\,x^2+y^2\le 1,\,0\le z\le x^2\}\) della funzione \(f(x,y,z)=\arctan(xy^2z^3)\).
Adesso, è sufficiente affermare che l'integrale è nullo perché la funzione integranda è dispari nella variabile \(x\), la quale varia su un intervallo simmetrico rispetto all'origine, oppure bisogna tenere conto del fatto che la variabile \(z\) varia tra \(0\) e \(x^2\) ?
Grazie in anticipo per eventuali risposte.

L'importante è la simmetria del dominio rispetto a \(x = 0\) (e ovviamente la "disparità" della funzione). Per convincerti: dividi l'insieme nelle due parti in cui \(x\) è positivo e \(x\) è negativo. Avresti due integrali da calcolare, per il secondo fai un cambio di variabili (\(x = - u\)): con questo cambio diventa il primo intergrale cambiato di segno quindi la somma è nulla. In un certo senso stai tenendo conto di dove varia \(z\): lo fai nel momento in cui dici che il domino è simmetrico (è più che dire che \(x\) varia in un intervallo simmetrico).

Grazie per le indicazioni professoressa Ghisi..

Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

Federico.M wrote:Allego file PDF con svolgimento dell'esercizio, sperando di aver seguito correttamente le indicazioni ricevute…

Si è corretto, a parte che \(x = 0\) non è l'asse delle \(y\) in \(R^3\)

Già, dovrebbe essere il piano \(yz\) … .
Grazie per la correzione professoressa Ghisi…