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Salve, vorrei delle indicazioni su come stabilire se questo integrale converge:

\(\displaystyle\int_{R} \frac{\arctan(xy)}{x^2+x^2y^2+1}\, dx\,dy\)

con

\(R=[0,+\infty)\times[0,+\infty)\)

Ho dimostrato che converge nella regione \([1,+\infty)\times[1,+\infty)\), ma includendo gli assi e l'origine non riesco a trovare minorazioni o maggiorazioni che funzionino. Grazie

Nel dominio \(D=\{y\geq 1,\; 1\leq xy\leq 2\}\) l'integrale diverge, infatti si ha

\(\displaystyle \int_D \frac{\arctan(xy)}{1 + x^2 + x^2y^2} dx\, dy \geq \frac{\pi}{4} \int_1^{+\infty} dy\int_{1/y}^{2/y} \frac{1}{4 + 4 + 1}dx\)

C'era qualche osservazione intuitiva da fare a priori sull'integrale per farsi venire in mente l'insieme D, o qualcosa da considerare che mettesse sulla buona strada? Ho un po' di difficoltà con questo tipo di esercizi perché pur capendo le strategie risolutive una volta che le leggo, raramente mi vengono in mente quando approccio gli esercizi per conto mio.

ord wrote:C'era qualche osservazione intuitiva da fare a priori sull'integrale per farsi venire in mente l'insieme D, o qualcosa da considerare che mettesse sulla buona strada? Ho un po' di difficoltà con questo tipo di esercizi perché pur capendo le strategie risolutive una volta che le leggo, raramente mi vengono in mente quando approccio gli esercizi per conto mio.

Certamente.
1) il problema è solo all'infinito.
2)Dove è più critica la situazione? Dove la funzione è lontana da zero, cioè in questo caso dove \(x\) è piccolo e \(xy\) è sostanzialmente costante (lontano da zero, altrimenti c'è l'arcotangente che aiuta).
3) Dato che la funzione è limitata serve comunque un dominio di area infinita per far divergere l'integrale.

A questo punta la scelta del dominio da provare è praticamente obbligata.

Poi è chiaro che bisogna fare parecchi esercizi (e a quel punto si acquisisce anche un proprio personale modo di ragionare, magari diverso da questo)

Grazie mille

bello. grazie