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Salve, volevo sapere se è lecito usare gli sviluppi di Taylor nella risoluzione di esercizi sugli integrali multipli impropri. Allego lo svolgimento di uno di essi, chiedendo se le giustificazioni addotte siano corrette. Grazie.

Federico.M wrote:Salve, volevo sapere se è lecito usare gli sviluppi di Taylor nella risoluzione di esercizi sugli integrali multipli impropri.

Dal punto di vista formale non proprio: lasciare degli o-piccoli in un integrale non è il massimo (cosa succede integrandoli?); d'altra parte se non metti gli o-piccoli o fai un confronto asintotico (che vuol dire gestire un limite in più variabili con in più il problema che stai dividendo per una funzione che si annulla fuori dall'origine) oppure ricorri direttamente alle stime.

Nel tuo caso basta usare \(\arctan z \leq z\) per \(z\geq 0\). Sarebbe stata un po' più noiosa la stima dal basso: qui ti sarebbe servito che \(\arctan z \geq c z\) quando \(0\leq z \leq 1\).

Grazie per la correzione e le indicazioni professoressa Ghisi. Svolgerò nuovamente l'esercizio alla luce dei suggerimenti ricevuti…