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Buongiorno a tutti,
Vorrei fare, se possibile, una domanda circa la definizione di integrale superficiale.

Siano \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) due insiemi aperti contenuti in \(\mathbb{R}^n\), sia m \(\geq\) n, \(\Omega_3\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^m\) e siano \(\psi_1\) : \(\Omega_1\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) e \(\psi_2\) : \(\Omega_2\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) due funzioni iniettive, surgettive, differenziabili, con differenziale continuo e di rango massimo in ogni punto del dominio. Si può dire che \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) sono diffeomorfi?

Siano inoltre \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) due insiemi Compatti misurabili, chiusure di aperti, contenuti in \(\mathbb{R}^n\), sia m \(\geq\) n, \(\Omega_3\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^m\) e siano \(\psi_1\) : \(\Omega_1\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) e \(\psi_2\) : \(\Omega_2\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) due funzioni continue e surgettive, iniettive ( nella parte interna ), differenziabili e con differenziale di rango massimo (nella parte interna). Si può dire che \(\psi_2^{-1}\)( \(\psi_1\) ( \(\partial\)\(\Omega_1\) ) ) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^n\) è chiuso ed ha misura nulla?

Intuitivamente mi torna più o meno, ma non riesco a dimostrare rigorosamente questi due fatti. Questo dovrebbe bastare per dimostrare l' invarianza dell' integrale superficiale per riparametrizzazione. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie mille in Anticipo!

Giacomo wrote:Siano \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) due insiemi aperti contenuti in \(\mathbb{R}^n\), sia m \(\geq\) n, \(\Omega_3\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}^m\) e siano \(\psi_1\) : \(\Omega_1\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) e \(\psi_2\) : \(\Omega_2\) \(\rightarrow\) \(\Omega_3\) due funzioni iniettive, surgettive, differenziabili, con differenziale continuo e di rango massimo in ogni punto del dominio. Si può dire che \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) sono diffeomorfi?

Questione oltremodo viscida .

Diciamo che, se anche \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) sono diffeomorfi, non si può garantire che il diffeomorfismo sia \(\psi_2^{-1}\circ\psi_1\).

L'esempio classico che si fa è oltremodo semplice. Gli aperti \(\Omega_1\) e \(\Omega_2\) sono l'intervallo \((0,1)\), mentre \(\Omega_3\) è un simbolo di infinito contenuto nel piano. Le due parametrizzazioni sono così ottenute. La prima "parte dal centro, poi sale verso sinistra, fa il giro e ritorna nel centro dal basso a destra"; la seconda "parte dal centro, poi scende verso sinistra, fa il giro e ritorna nel centro dall'alto a destra". Entrambe sono regolarissime, ma la loro composizione non è nemmeno continua .

Non è difficile ritoccare l'esempio per avere un \(\Omega_3\) parametrizzato contemporaneamente da un \(\Omega_1\) con 2 componenti connesse ed un \(\Omega_2\)con 3 componenti connesse. Bel guaio per gli approcci parametrici!

Intanto, la ringrazio per la disponibilità. Ma Non è possibile trovare delle ipotesi per le parametrizzazioni in modo che si abbia l' invarianza dell' integrale superficiale?

Voglio dire, se l' integrale superficiale può ( almeno potenzialmente ) dipendere dalla parametrizzazione, anche quando uno fa il teorema della divergenza, l' integrale sul bordo, rispetto a quale parametrizzazione lo intende? Molte volte, quello che conta, è proprio il supporto e la parametrizzazione è solo "un mezzo", per esempio anche per definire l' area di una superficie.

Potrebbe, gentilmente, aiutarmi a trovare delle ipotesi sulle parametrizzazioni in modo da garantire l' invarianza dell' integrale superficiale di una certa funzione?

Forse si risolverebbe tutto scomodando la misura di Lebesgue, ma a me piace più il suo " stile " ( che condivido) di risolvere, per quanto possibile, i problemi con le cose semplici ( seno e coseno con eq. Funzionali e non con serie, misura di peano-jordan ad analisi 2 e non di Lebesgue ecc. Ecc) e non con le " cannonate " .

Grazie di nuovo in anticipo!

Ribadisco che questa è una mega-domanda, che riguarda un grosso problema, e non ha risposte scontate. Non si tratta nemmeno del solo punto in cui si confrontano l'approccio parametrico e quello non parametrico.

Limitiamoci intanto agli integrali curvilinei o superficiali, lasciando fuori integrali di flusso o "integrali sul bordo", cioè concetti che dipendono anche da una scelta dell'orientazione e quindi pongono problemi ulteriori.

Quello che faccio durante il corso è definire curve e superfici come parametrizzazioni, e definire di conseguenza l'integrale a partire dalla parametrizzazione. Per salvare la faccia, definisco quando due parametrizzazioni si dicono equivalenti (cioè quando una composta l'inversa dell'altra risulta un diffeomorfismo tra gli insiemi dei parametri) e mostrare che in tal caso l'integrale viene lo stesso. Per usare un parolone, in questo modo si definisce l'integrale su classi di equivalenza di parametrizzazioni.

Mi rendo conto che non si ottiene una teoria del tutto soddisfacente, in quanto uno vorrebbe definire, in un certo senso, l'integrale sul supporto. Per far questo uno sarebbe anche disposto ad accettare le parametrizzazioni come mezzo, nel senso che, dato un supporto, uno prende una parametrizzazione "decente" del supporto e poi definisce l'integrale a partire da quella parametrizzazione. Facendo così però serve un teorema di indipendenza che dica che due qualunque parametrizzazioni decenti dello stesso supporto sono equivalenti tra di loro, per il solo fatto di parametrizzare lo stesso supporto in modo decente. Questo è il tipo di risultato che piacerebbe a Giovanni, se ho capito bene. Io aggiungo che magari uno vorrebbe pure definire integrali su supporti "strani", ad esempio anche solo l'unione dei lati di un triangolo e delle 3 mediante, il che pone problemi vari quando si va a parametrizzare.

Il cannone che risponde a tutte queste domande è l'integrale rispetto alla misura di Hausdorff

https://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure

il quale permette di definire intrinsecamente gli integrali n-dimensionali su supporti qualunque contenuti in uno spazio m dimensionale. Il giorno in cui il supporto viene parametrizzato in modo Lipschitz, anche in maniera non iniettiva o non surgettiva, la formula di area

https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... ea_formula

lega l'integrale definito via parametrizzazione a quello intrinseco, tenendo conto dei tratti ripetuti (che contano con molteplicità) e di quelli non coperti (che contano 0). Come corollario si ha che l'integrale definito a partire da due parametrizzazioni bigettive e Lipschitz dello stesso supporto coincide sempre.

La via "elementare" sarebbe di mostrare il risultato al quale punta Giacomo, ma l'esempio dell'infinito citato in un post precedente mostra che la risposta non è per nulla scontata, e sarà limitata a supporti con una buona struttura locale. Per farla breve, per avere speranza di dimostrare il risultato enunciato nel post iniziale di Giacomo servono delle ipotesi anche su \(\Omega_3\) e non solo sulle due parametrizzazioni. Dovrebbe bastare che \(\Omega_3\) sia una sottovarietà m-dimensionale di \(\mathbb{R}^n\) e cioè, sostanzialmente, che in ogni punto esista una finestrella in cui l'insieme si può rappresentare come grafico di una funzione di n variabili a valori nelle restanti m-n variabili.

Forse potrebbe valere la pena di iniziare ad indagare questo enunciato nel caso speciale in cui n=1 e m=2, cioè curve nel piano.