Integrali tripli 4

[Giacinto Gallina]

L'esercizio in questione chiede di integrare la funzione \(|z|\) sull'insieme \(A\) tale che \(x^2+y^2+z^2\leq 4\),\(|x|\geq 1\),\(|y|\geq 1\).
Intanto si osserva che ci si può limitare a studiare il problema per \(z\geq 0\) e moltiplicare per 2, visto che l'insieme è simmetrico per \(z\).
L'insieme che si ottiene è il complementare in \(A\) dell'instersezione fra la parte superiore della sfera e un parallelepipedo con \((x,y)\in [-1,1]×[-1,1]\) e \(z\) variabile. Quindi per ottenere l'integrale richiesto basta integrare su tutta la semisfera superiore e sottrarre l'integrale sull'intersezione descritta per poi moltiplicare per 2. Tale intersezione corrisponde al parallelepipedo per \(\)\(z\in (0,\sqrt{2})\) e alla calotta sferica per \(z\in(\sqrt{3},2)\). Invece il problema sorge quando \(z\in(\sqrt{2},\sqrt{3})\) e l'intersezione corrisponde all'intersezione fra una circonferenza e un quadrato. Come si può calcolare l'area di tale intersezione volendo integrare per sezioni? È conveniente ragionare così o c'è un modo più furbo?

[ghisi]

Ci sono tanti modi per affrontare un esercizio. Io questo lo faccio così di solito: usa le simmetrie per ridurti a \(z\geq 0\), \(x\geq 1\), \(y\geq 1\). Adesso integra in \(z\) (sostanzialmente è integrare per colonne). Ti ritrovi quindi da integrare

\(4 - (x^2 +y^2)\)

su

\(x^2 +y^2 \leq 4\), \(x\geq 1\), \(y\geq 1\).

Puoi ridurti al caso in cui \(y\leq x\). E ora su questo insieme si possono usare le coordinate polari (otterrai che l'insieme in cui varia \(\rho\) dipende da \(\theta\)...).

[Edoardo Gabrielli]

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?

[ghisi]

Vorrei riaprire questa discussione perchè non mi è chiara la soluzione proposta: dopo la riduzione ad un problema bidimensionale l'integrale da risolvere non risulta la radice di quello nel mesaggio precedente?
Non riesco a risolvere tale integrale. Propongo un'altra strada, vi allego la foto, dov'è che sbaglio?

Il problema è che la negazione di ( \(|x|\geq 1\) e \(|y|\geq 1\)) non è (\(|x|\leq 1\) e \(|y|\leq 1\)). Prova a fare un disegno per convincerti.