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Buongiorno a tutti i giorni! Sono alle prese con un integrale improprio che non riesco a risolvere:

[tex]\displaystyle\int_{A}{\arctan x\over (x^{2}+y^{2})^{\alpha}}\,dx\,dy[/tex]

Dovrei dimostrare per quali valori di [tex]\alpha[/tex] si ha convergenza.
A è il primo quadrante.

[tex]1<\alpha<3/2[/tex]

Va spezzato in due parti: [tex]0<\rho<1[/tex] e [tex]1<\rho<+\infty[/tex]

Ok, così dimostro i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui l'integrale converge, cioè:
[tex]1\leq\alpha\leq{3\over2}[/tex]
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?

matt_93 wrote:Ok, così dimostro i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui l'integrale converge, cioè:
[tex]1\leq\alpha\leq{3\over2}[/tex]
Ma per i valori all'infuori dell'intervallo dovrei dimostare che diverge a più infinito. ..come fare? Quali minorazioni dovrei fare?

allego lo svolgimento dell'esercizio

per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza [tex]\alpha<3/2[/tex] (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare )

per la parte a +infinito si può operare per confronto con due sotto casi mostrando che il valore [tex]\alpha>1[/tex] e un "se e solo se" per la convergenza

GIMUSI wrote:[
per la parte "vicino a zero" il criterio asintotico dovrebbe fornire una condizione "se e solo se" sul valore di convergenza [tex]\alpha<3/2[/tex] (con le minorazioni/maggiorazioni non saprei come fare )

Per farlo con le maggiorazioni/minorazioni basta usare che esiste una costante [tex]C>0[/tex] tale che se [tex]0\leq x
\leq 1[/tex] allora

[tex]Cx \leq \arctan x \leq x.[/tex]

(che in fondo è quello che c'è alla base del confronto asintotico)

Scusate, qualcuno mi aiuti! non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!!

AntiLover wrote:Scusate, qualcuno mi aiuti! non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!!

ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di [tex]cosx[/tex] per [tex]0\leq x \leq1[/tex] (vd. lez. 52 AM01 2010/11)

GIMUSI wrote:

AntiLover wrote:Scusate, qualcuno mi aiuti! non mi torna questo integrale . B={(x,y): x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0} La funzione è 1-cos(xy)/x^2+y^2 . grazie!!

ha l'aria di convergere...forse si potrebbe provare a minorarlo impiegando la diseguaglianza di [tex]cosx[/tex] per [tex]0\leq x \leq1[/tex] (vd. lez. 52 AM01 2010/11)

allego lo svolgimento con la minorazione indicata

Ho un problema con un Integrale Improprio:

[tex]$\[\int_{\mathbb{R}\smallsetminus D}^{} \frac{|x|}{(x^2+y^2)^2}dxdy\]$[/tex]
Dove D è un cerchio nel piano con centro nell'origine e raggio 2.

Andando avanti e passando in coordinate polari arrivo a questo punto:

[tex]$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$[/tex] che essendo facile e svolgendolo viene che converge a 2.

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
[tex]$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$[/tex] converge se [tex]\alpha > 2[/tex] e diverge se [tex]\alpha \le 2[/tex]

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi
Grazie!

volm92 wrote:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
[tex]$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$[/tex] converge se [tex]\alpha > 2[/tex] e diverge se [tex]\alpha \le 2[/tex]

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi
Grazie!

non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)

GIMUSI wrote:

volm92 wrote:...

Guardando la Lezione 54 ci sono le condizioni per le quali un Integrale "fuori dal cerchio" converga:
[tex]$\[\int_{E_r} \frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2})^\alpha}}dxdy\]$[/tex] converge se [tex]\alpha > 2[/tex] e diverge se [tex]\alpha \le 2[/tex]

Perché accade questo? E' un caso speciale? Qualcuno mi spieghi
Grazie!

non ho capito cosa non ti è chiaro...la soluzione dell'integrale improprio mi pare corretta

per quanto riguarda gli integrali impropri notevoli nella lezione 54 sono richiamati i casi "padre" di analisi 1 (spiegati ad esempio nella lezione 76 di AM1 2010/11)

Non mi torna il fatto che, se NON svolgessi l'integrale, e ragionassi sulla convergenza o meno, mi verrebbe che diverge!
[tex]$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$[/tex] dove [tex]\alpha = 2[/tex]

ma converge se [tex]\alpha > 2[/tex] e diverge se [tex]\alpha \le 2[/tex] e quindi direi che diverge a [tex]+\infty[/tex] (in contraddizione con la convergenza che mi risultava prima!)

stai solo facendo un po' di confusione...l'integrale

[tex]$\[4\int_2^{\infty} \frac{1}{\rho^2}d\rho\]$[/tex] dove [tex]\alpha = 2[/tex]

è del tipo "Analisi 1" e converge per [tex]\alpha>1[/tex]

se riguardi bene la lezione 54 è spiegato con chiarezza

Ok, ti ringrazio, come sempre

Buonasera,
non riesco a valutare i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui il seguente integrale converga:
[tex]$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$[/tex]
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
[tex]$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$[/tex]
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!

andi wrote:Buonasera,
non riesco a valutare i valori di [tex]\alpha[/tex] per cui il seguente integrale converga:
[tex]$\[\int_{\mathbb {R}^2} \frac {1}{7+(x^2+y^2)^{\alpha}}dxdy\]$[/tex]
Passando in coordinate polari cartesiane e svolgendo arrivo a questo punto:
[tex]$\[2\pi\int_0^\infty \frac {\rho}{7+\rho^{2\alpha}}d\rho\]$[/tex]
e mi blocco. Non trovo un metodo per andare avanti.
Grazie!

allego un possibile svolgimento...all'inizio pensavo si potesse fare più rapidamente come suggerirebbe l'amico brutale

volendolo fare per bene con il criterio asintotico ho dovuto considerare due casi...non escludo si possa fare in modo più furbo