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ho un problema con questo integrale,
[tex]z^{2}+\sin x[/tex] con dominio in [tex]0\leq z\leq x^{2}+y^{2}\leq1[/tex]

non posso usare le coordinate cilindriche/sferiche per quel sinx, in più non riesco a svolgerli né per colonne, né per sezioni perché continua a restarci una variabile di impiccio! help!

il dominio mi pare sia un cilindro circolare di raggio unitario con asse in z (da 0 a 1)

per prima cosa conviene separare l'integrale nella somma dei due termini [tex]z^2[/tex] e [tex]senx[/tex]

la parte relativa a [tex]z^2[/tex] è facilmente integrabile

la parte relativa a [tex]\sin x[/tex] è nulla perché la funzione è antisimmetrica nel dominio

c'è qualcosa che non quadra.....il domini di integrazione è un paraboloide.
Se considero il pezzo [tex]z=x^{2}+y^{2}[/tex] la figura che se ne uscirebbe fuori sarebbe una parabola che parte in (0,0,0) e tenderebbe all'infinito ma z è minore di 1, quindi essa si arresta a 1.
Dunque il volume descritto è il volume all'interno del paraboloide descritto.

matt_93 wrote:c'è qualcosa che non quadra.....il domini di integrazione è un paraboloide.
Se considero il pezzo [tex]z=x^{2}+y^{2}[/tex] la figura che se ne uscirebbe fuori sarebbe una parabola che parte in (0,0,0) e tenderebbe all'infinito ma z è minore di 1, quindi essa si arresta a 1.
Dunque il volume descritto è il volume all'interno del paraboloide descritto.

a beh allora lo riguardo meglio...

ma non è [tex]z \le x^{2}+y^{2}[/tex]?

si, è minore uguale ma adesso l'ho considerato solo uguale, il concetto era un esempio!

matt_93 wrote:si, è minore uguale ma adesso l'ho considerato solo uguale, il concetto era un esempio!

mi pare che il dominio siano i punti compresi tra il cilindro circolare di raggio unitario con asse in z e il paraboloide z=x^2+y^2 (per z da 0 a 1)

il discorso su [tex]\sin x[/tex] non cambia...il sua contributo è nullo

allego lo svolgimento revisionato...attendo un tuo parere

si, così mi tornerebbe!
come sempre il problema è rappresentare il dominio di integrazione.
un'ultima domanda: mi puoi spiegare più dettagliatamente perché sinx se ne va via? sono un po' duro!

matt_93 wrote: un'ultima domanda: mi puoi spiegare più dettagliatamente perché sinx se ne va via? sono un po' duro!

il dominio è simmetrico rispetto all'asse [tex]y[/tex]...la funzione [tex]\sin x[/tex] è antisimmetrica, quindi per ogni [tex]y[/tex]

[tex]\sin(x)=-\sin(-x)[/tex]

quindi i contributi sulle due parti simmetriche del dominio hanno segno opposto e si annullano