\(\iint_B\frac{e^{xy}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\,dx\,dy\)
dove l'insieme di integrazione dato è \(B=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x^2+y^2\ge1,\,x\ge0,\,y\ge0\bigr\}\)
Io ho svolto l'esercizio in questo modo :
Sia \(D\) il sottoinsieme proprio di \(B\) tale che \(D=\bigl\{(x,y)\in R^2\colon x\ge1,\,y\ge1\bigr\}\)
allora abbiamo che
\(\iint_B\frac{e^{xy}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\,dx\,dy\ge\iint_D\frac{e^{xy}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\,dx\,dy\)
Adesso sull'insieme \(D\) valgono le seguenti relazioni
\(\frac{e^{xy}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\ge\frac{e^{(x+y)/2}}{(x^2+y^2+2xy)^{\alpha}}=\frac{e^{(x+y)/2}}{(x+y)^{2\alpha}}\)
Dunque, abbiamo che
\(\iint_D\frac{e^{xy}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}\,dx\,dy\ge\iint_D\frac{e^{(x+y)/2}}{(x+y)^{2\alpha}}\,dx\,dy\)
Si esegue ora il seguente cambio di variabili
\(\begin{cases}
x+y=u\\
x-y=v
\end{cases}\quad\begin{cases}
x=(u+v)/2\\
y=(u-v)/2
\end{cases}\implies\lvert{\frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}}\rvert=\begin{vmatrix}
1/2 & 1/2\\
1/2 & -1/2
\end{vmatrix}=\lvert{-1/4-1/4}\rvert=1/2\)
Dunque, la funzione integranda diventa
\(g(u,v)=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha}}\)
mentre l'insieme di integrazione si trasforma in \(E=\bigl\{(u,v)\in R^2\colon u\ge2,\,\,2-u\le v\le u-2\bigr\}\)
da cui segue che l'integrale diventa
\(\frac{1}{2}\int_2^{+\infty}\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha}}\,du\int_{2-u}^{u-2}\,dv=\int_2^{+\infty}\frac{(u-2)e^{u/2}}{u^{2\alpha}}\,du\)
Per il criterio del confronto asintotico, abbiamo che
\(\lim_{u\to +\infty}\frac{(u-2)e^{u/2}}{u^{2\alpha}}\cdot\frac{u^{2\alpha-1}}{e^{u/2}}=1\implies\int_2^{+\infty}\frac{(u-2)e^{u/2}}{u^{2\alpha}}\,du\sim\int_2^{+\infty}\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha-1}}\,du\)
che diverge \(\forall\alpha\)
Infatti, abbiamo che
\(\lim_{u\to +\infty}\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha-1}}\cdot\frac{1}{u}=\lim_{u\to +\infty}\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha}}=+\infty>1\quad\forall\alpha\)
Dunque, per \(u\) molto grande è
\(\frac{e^{u/2}}{u^{2\alpha-1}}>u\quad\forall\alpha\)
il cui integrale
\(\int_2^{+\infty}u\,du\)
diverge sicuramente.
In conclusione, dunque, l'integrale dato non converge per nessun valore del parametro \(\alpha\).
A questo punto, vi chiederei conferma della correttezza del mio svolgimento. Grazie in anticipo per correzioni e suggerimenti per svolgimenti alternativi...
