Considerazioni geometriche su integrale triplo

[Federico.M]

Salve, ho il seguente esercizio da proporvi:
Calcolare l'integrale triplo della funzione \(f(x,y,z)=1\) sull'insieme \(I_{14}=\{(x,y,z)\in R^3\,:\,2-x^2-y^2\ge z\ge 2x+2y\}\)
Adesso, data la difficoltà di visualizzare l'insieme \(I_{14}\), è corretto affermare che su di esso la variabile \(z\) varia sull'intervallo \([0,2]\), essendo \(I_{14}\) lo spazio racchiuso in "alto" dal paraboloide \(z=2-x^2-y^2\), che ha massimo uguale a 2 in corrispondenza dell'origine, e in "basso" dal piano \(z=2x+2y\), che nell'origine ha valore nullo ?
Inoltre, se queste considerazioni sono corrette, sono anche sufficientemente rigorose(.. ed hanno una validità più generale..) per lo svolgimento dell'esercizio che allego in formato PDF ?
Grazie in anticipo per eventuali risposte, correzioni e suggerimenti.

[GIMUSI]

Per capire meglio il dominio di integrazione puoi fare qualche sezione con piani \(z-x\), \(z-y\) oppure \(z-(x=y)\).

Se poi intersechi le due superfici vedi che nel piano \(x-y\) il dominio di variazione è un cerchio centrato in \((-1,-1)\) con raggio \(2\).

Quindi puoi integrare facendo variare \(x\) e \(y\) all'interno del cerchio e \(z\) tra i limiti definiti dal dominio.

[Federico.M]

Grazie per le indicazioni Gimusi. Allego il file con lo svolgimento corretto dell'esercizio…

[ghisi]

Grazie per le indicazioni Gimusi. Allego il file con lo svolgimento corretto dell'esercizio…

E' corretto.

[Federico.M]

… in effetti avevo dato per scontato che le considerazioni di Gimusi prima e, successivamente, le mie fossero giuste.. Grazie per la conferma professoressa Ghisi …