Buonasera a tutti,
voglio provare a dare una generalizzazione della stima di un integrale vettoriale.
Sia \(X\) un insieme. Sia \(V\) uno spazio vettoriale normato di dimensione finita e sia \(V^*\) il suo spazio duale. Sia \(F_{XV}\) l' insieme delle funzioni da \(X\) in \(V\) e \(F_{XR}\) l' insieme delle funzioni da \(X\) in \(R\). Sia \(I_V\) una funzione da \(F_{XV}\) in \(V\) e sia \(I_S\) una funzione da \(F_{XR}\) in \(R\). Supponiamo che per ogni \(v\) appartenente a \(V^*\) e per ogni \(f\) appartenente a \(F_{XV}\) valga la relazione \(v(I_V( f ))\) = \(I_S( v ( f ) )\). Supponiamo inoltre che \(g(x)\) <= \(h(x)\) per qualunque \(x\) appartenente a \(X\) implica \(I_S(g)\) <= \(I_S(h)\). Supponiamo inoltre che \(I_S\) sia nulla per la funzione identicamente nulla e che sia omogenea.
Allora accade che per qualunque \(f\) appartenente a \(F_{XV}\) :
\(|I_V( f )|\) <= \(I_S(|f|)\)
Dim.
Fissato \(v\) appartenente al duale abbiamo che per ogni \(f\):
\(v(I_V( f ))\) = \(I_S( v( f ) )\) <= \(I_S( |v| |f| )\)
( segue dal fatto che \(v(f)\) <= |v| |f| e dalla monotonia di \(I_S\). La norma di un elemento del duale è definita come :
\(sup \frac{|v(w)|}{|w|}\) al variare di \(w\) in \(V\) )
Se \(I_V( f )\) è il vettore nullo non c' è niente da dimostrare ( infatti \(I_S\) calcolata per una funzione che è il valore assoluto di "qualcosa" avrà un valore maggiore o uguale rispetto a \(I_S\) calcolata per la funzione identicamente nulla che restituisce per ipotesi il valore 0.
Altrimenti competo una base rispetto a \(I_V( f )\) e scelgo \(v\) in modo che \(v(I_V( f ))\) sia uguale a \(C|I_V( f )|^2\) e nulla negli altri componenti della base. C è definito come il sup della componente dei vettori di norma 1 rispetto all' elemento della base \(I_V( f )\). La norma di \(v\) è \(C|I_V( f )|\). Inserendo nella relazione di prima si ha che:
\(C|I_V( f )|^2\) <= \(I_S( C|I_V( f )| |f| )\) usando l' omogeneità di \(I_S\) si ha che:
\(C|I_V( f )|^2\) <= \(C|I_V( f )|I_S( |f| )\) da cui semplificando si ottiene la tesi.