Lemma del cubetto interno
Lemma del cubetto interno
Per sfizio propongo una mia dimostrazione del cosiddetto "Lemma del cubetto interno" (vedi AM2_16_L042), basata sulla dimostrazione contrattiva del teorema della funzione inversa. Se avete altre dimostrazioni, o critiche alla mia, sarei curioso di conoscerle!
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Massimo Gobbino
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Re: Lemma del cubetto interno
Una dimostrazione contrattiva funziona sicuramente. Non dovrebbe però essere difficile dare una dimostrazione del lemma del cubo interno utilizzando il solo enunciato del teorema della funzione inversa, senza ripeterne la dimostrazione.
Mi limito ad elencare qui lo schema, ma se ci sono buchi siete pregati di segnalarli.
1 - Intanto si dimostra qualcosa di questo tipo: se f(x) ed f(y) sono vicini, allora x e y sono vicini (questa è una sorta di Lipschitzianità dell'inversa).
2 - Prendiamo un cubetto C con centro in x e semilato r, che pensiamo chiuso, e consideriamo la sua immagine. Ora f(x) sarà interno all'immagine f(C), quindi esiste almeno un cubetto con centro in f(x) e contenuto in f(C).
3 - Indichiamo R il sup dei semilati per cui il cubetto con centro in f(x) sta in f(C). Allora il cubetto con centro in f(x) e semilato R sta a sua volta in f(C) (qui è stato utile pensare C compatto).
4 - Il nostro scopo è mostrare che R è almeno una certa quantità. Supponiamo allora che R sia più piccolo di quello che vorremmo. Prendiamo una qualunque punto z sul bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R. Per il punto 3 sappiamo che z=f(y) per un certo y in C. Inoltre per il punto 1 sappiamo che, se R è troppo piccolo, y sarà interno a C, dunque z sarà interno ad f(C).
5 - Dal punto 4 sappiamo che tutti i punti del bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R sono interni all'immagine di C. Questo contraddice la massimalità di R.
Mi pare che in questo modo si usi solo la lipschitzianità locale dell'inversa (anche questa solo locale) ed il fatto che, se x è interno a C, allora f(x) è interno ad f(C).
Fermo restando l'interesse per il lemma, la domanda che mi sono posto a suo tempo è però la seguente: serve davvero il lemma del cubetto interno nella dimostrazione della formula di cambio di variabili? Forse no, e l'idea dovrebbe essere che dal solo lemma di cubo esterno si ottiene la stessa formula con una disuguaglianza, e poi si chiude applicando la stessa disuguaglianza alla trasformazione inversa, un po' come alla lezione 40 (fine del punto 1.2).
Non sarebbe male che qualcuno controllasse questo.
Mi limito ad elencare qui lo schema, ma se ci sono buchi siete pregati di segnalarli.
1 - Intanto si dimostra qualcosa di questo tipo: se f(x) ed f(y) sono vicini, allora x e y sono vicini (questa è una sorta di Lipschitzianità dell'inversa).
2 - Prendiamo un cubetto C con centro in x e semilato r, che pensiamo chiuso, e consideriamo la sua immagine. Ora f(x) sarà interno all'immagine f(C), quindi esiste almeno un cubetto con centro in f(x) e contenuto in f(C).
3 - Indichiamo R il sup dei semilati per cui il cubetto con centro in f(x) sta in f(C). Allora il cubetto con centro in f(x) e semilato R sta a sua volta in f(C) (qui è stato utile pensare C compatto).
4 - Il nostro scopo è mostrare che R è almeno una certa quantità. Supponiamo allora che R sia più piccolo di quello che vorremmo. Prendiamo una qualunque punto z sul bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R. Per il punto 3 sappiamo che z=f(y) per un certo y in C. Inoltre per il punto 1 sappiamo che, se R è troppo piccolo, y sarà interno a C, dunque z sarà interno ad f(C).
5 - Dal punto 4 sappiamo che tutti i punti del bordo del cubetto con centro in f(x) e semilato R sono interni all'immagine di C. Questo contraddice la massimalità di R.
Mi pare che in questo modo si usi solo la lipschitzianità locale dell'inversa (anche questa solo locale) ed il fatto che, se x è interno a C, allora f(x) è interno ad f(C).
Fermo restando l'interesse per il lemma, la domanda che mi sono posto a suo tempo è però la seguente: serve davvero il lemma del cubetto interno nella dimostrazione della formula di cambio di variabili? Forse no, e l'idea dovrebbe essere che dal solo lemma di cubo esterno si ottiene la stessa formula con una disuguaglianza, e poi si chiude applicando la stessa disuguaglianza alla trasformazione inversa, un po' come alla lezione 40 (fine del punto 1.2).
Non sarebbe male che qualcuno controllasse questo.
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Bypass del lemma del cubetto interno
Mi pare che si possa by-passare il lemma del cubetto interno nella dimostrazione della formula di cambio di variabili negli integrali. I punti fondamentali dovrebbero essere i seguenti.
1 - Dal lemma del cubetto esterno segue abbastanza facilmente che l'immagine di un misurabile è misurabile (vedi pagina 199 del book 1).
2 - Sempre dal lemma del cubo esterno segue la epsilon-disuguaglianza in fondo a pagina 200, con integrali veri e non superiori o inferiori (qui serve il punto 1). Volendola scrivere
\(\displaystyle\int_Bf_C(y)\,dy\geq\frac{1}{(1+\varepsilon)^{n+1}}\int_Af_C(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
dove \(f_C\) è la caratteristica di un cubo abbastanza piccolo.
3 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei cubi piccoli, allora vale per le caratteristiche dei rettangoli qualunque, sempre con integrali veri (discorso di pagina 192).
4 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei rettangoli, con integrali veri, allora vale con integrali superiori per tutte le funzioni non negative (dove serve che siano non negative? dove serve che per le caratteristiche dei rettangoli fossero integrali veri?).
5 - Passando al limite si ottiene la stessa disuguaglianza per epsilon=0. Abbiamo così ottenuto che
\(\displaystyle\int^*_Bf(y)\,dy\geq\int^*_Af(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
per ogni f : B -> R non negativa.
6 - Applicando la stessa formula alla trasformazione inversa si ottiene l'uguaglianza, come in fondo a pagina 189. Abbiamo quindi che
\(\displaystyle\int^*_Bf(y)\,dy=\int^*_Af(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
per ogni f : B -> R non negativa.
7 - Ricordando nuovamente il punto 1, se f è una caratteristica di un rettangolo, allora la formula di sopra vale con integrali veri e non superiori. Ma allora possiamo ripercorrere tutta la pagina 189 senza più l'ipotesi che f sia non negativa, ottenendo la conclusione completa (con integrali inferiori e superiori) per ogni f ammissibile.
Correggetemi se ho sbagliato!
1 - Dal lemma del cubetto esterno segue abbastanza facilmente che l'immagine di un misurabile è misurabile (vedi pagina 199 del book 1).
2 - Sempre dal lemma del cubo esterno segue la epsilon-disuguaglianza in fondo a pagina 200, con integrali veri e non superiori o inferiori (qui serve il punto 1). Volendola scrivere
\(\displaystyle\int_Bf_C(y)\,dy\geq\frac{1}{(1+\varepsilon)^{n+1}}\int_Af_C(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
dove \(f_C\) è la caratteristica di un cubo abbastanza piccolo.
3 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei cubi piccoli, allora vale per le caratteristiche dei rettangoli qualunque, sempre con integrali veri (discorso di pagina 192).
4 - Se quella epsilon-disuguaglianza vale per le caratteristiche dei rettangoli, con integrali veri, allora vale con integrali superiori per tutte le funzioni non negative (dove serve che siano non negative? dove serve che per le caratteristiche dei rettangoli fossero integrali veri?).
5 - Passando al limite si ottiene la stessa disuguaglianza per epsilon=0. Abbiamo così ottenuto che
\(\displaystyle\int^*_Bf(y)\,dy\geq\int^*_Af(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
per ogni f : B -> R non negativa.
6 - Applicando la stessa formula alla trasformazione inversa si ottiene l'uguaglianza, come in fondo a pagina 189. Abbiamo quindi che
\(\displaystyle\int^*_Bf(y)\,dy=\int^*_Af(\varphi(x))\cdot|\operatorname{Det} J_\varphi(x)|\,dx\)
per ogni f : B -> R non negativa.
7 - Ricordando nuovamente il punto 1, se f è una caratteristica di un rettangolo, allora la formula di sopra vale con integrali veri e non superiori. Ma allora possiamo ripercorrere tutta la pagina 189 senza più l'ipotesi che f sia non negativa, ottenendo la conclusione completa (con integrali inferiori e superiori) per ogni f ammissibile.
Correggetemi se ho sbagliato!
Re: Lemma del cubetto interno
In effetti così sembra tornare, senza invocare questo famigerato cubetto interno... il punto è che basta ottenere la formula del cambio di variabili (per funzioni positive) con la disuguaglianza e poi giocarsi l' arbitrarietà del diffeomorfismo e le proprietà del determinante per ottenere l' uguaglianza...molto meglio! 