Integrale Improprio

[Ghin]

Buonasera,
propongo un esercizio che ho avuto difficulta' a risolvere.
Qualcuno puo' darmi una mano?

Schermata 2021-01-16 alle 22.32.05.png (35.78 KiB) Viewed 6221 times

Per il primo punto ho provato a passare in polari, ottenendo {p}/{p^4(cos^4t + sin^4t) + p^4(cos^2tsin^2t)}
che e' <= {p}/{p^4k +p^4} perche' i termini in t di quarto grado sono piu' piccoli di una costante k e quelli di grado 2 sono minori di 1.
Allora l'integrale diventa l'integrale fra 0 e 1 in dp della funzione per l'integrale in dt di 1. Questo pero' non fa infinito..

Per il secondo punto provo di nuovo a vedere in polari ma non vedo bene l'andamento

[Federico.M]

Salve Ghin, vorrei provare a rispondere al primo quesito che poni.
Essendo
\(\frac{1}{x^4+y^4+x^2y^2}\ge\frac{1}{x^4+y^4+2x^2y^2}=\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\)
segue che
\(\iint_B\frac{1}{x^4+y^4+x^2y^2}\,dx\,dy\ge\iint_B\frac{1}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy\)
Passando adesso a coordinate polari, si ha che l'insieme di integrazione diventa
\(B\mapsto C=\bigl\{(\rho,\theta)\in R^2\,\colon 0\le\rho\le1\,,0\le\theta\le\pi/2\bigr\}\)
e l'integrale si trasforma in
\(\iint_C\frac{\rho}{\rho^4}\,d\rho\,d\theta=\int_0^1\frac{1}{\rho^3}\,d\rho\int_0^{\pi/2}\,d\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\lim_{\epsilon\to 0^+}\Bigl[-\frac{1}{2\rho^2}\Bigr]_{\epsilon}^1=\frac{\pi}{4}\cdot\lim_{\epsilon\to 0^+}\Bigl(\frac{1}{\epsilon^2}-1\Bigr)=+\infty\)

[ghisi]

Per quanto riguarda il caso con parametro: le polari non vanno bene perchè i termini al denominatore non hanno lo stesso grado. Ci sono vari procedimenti che si possono usare. Ne indico uno.

Se \(\alpha \geq 4\) allora

\(\displaystyle\int_B\frac{1}{x^\alpha + y^4 + x^2y^2}\, dx\, dy \geq \int_B\frac{1}{x^4 + y^4 + x^2y^2}\, dx\, dy \)

quindi diverge.

Se \(\alpha < 4\) allora \(x^\alpha + y^4 \leq x^\alpha + y^4 + x^2y^2 \leq 2 (x^\alpha + y^4) \) quindi l'integrale è equivalente a

\(\displaystyle\int_B\frac{1}{x^\alpha + y^4}\, dx\, dy\).

Per trattare questo integrale ti suggerisco un cambio di variabili del tipo \(x^\alpha = w^4, y = u\).