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Per quanto sia banale non riesco ad arrivare ad una conclusione su questo integrale.
I domini su cui studiare la convergenza sono diversi ma mi sono fermato alla prima richiesta, quella di studiarla sul primo quadrante.
A primo occhio l'integrale diverge e per arrivare a tale conclusione provo a ridurmi su un dominio dove la funzione non ha zeri 2/x<y<1/x.
Tutti gli altri ragionamenti non mi hanno portato a niente di concreto.
Mi scuso per la banalità dell'esercizio proposto ma non riesco a venirne a capo.

Questo esercizio, se devi studiarlo su tutto il primo quadrante è tutt'altro che banale ! La tua idea di utilizzare le zone dove il seno è lontano da zero è quella giusta. Devi solo fare un piccolo passo in più: se ti metti su una singola zona non basta, ma le zone che puoi utilizzare sono infinite visto che il seno è periodico. Se sommi gli integrali su tutte queste zone (magari facendo qualche stima sulle singole zone che renda il conto più semplice) ottieni una serie divergente.

La ringrazio della risposta, proverò a vedere se riesco ad arrivare ad una soluzione.
Se mi ricordo ( e se riesco) posterò il risultato.

Si potrebbero usare come zone quelle tra le due iperboli \(xy=\frac \pi 6 +n\pi\) e \(xy=\frac 5 6 \pi+n\pi\) con \(|\sin (xy)|\ge \frac 12\) e per il calcolo dell'integrale assumendo \(x^2+y^2 \le x^2+\frac{\left(\frac 5 6 \pi+n\pi\right)^2}{x^2}\). In questo modo si dovrebbe ottenere una serie confrontabile con l'armonica.