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##Ciò che segue descrive com'è nato il mio dubbio. Eventualmente scrivo la mia vera domanda "in fondo"##

Supponiamo di avere il dominio: \(\Bbb V=\{(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2\le1\}\) e vogliamo calcolare \(\int_{\Bbb V}1\,dx\,dy\,dz\).

E' ovvio che un buon cambio di variabili è \(\Phi:(u,v,w)\rightarrow(x,y,z)\), \(\begin{cases}(x+1)=u \\ (y-2)=v \\ (z+3)=w\end{cases}\)

Una tale \(\Phi\) è una funzione iniettiva, quindi non mi crea alcun problema: \(\Bbb V\) è semplicemente riscritto come \(\Bbb V^*=\{u^2+v^2+w^2\le1\}\) e l'integrale è fatto semplicemente come \(\int_{\Bbb V^*}1\,du\,dv\,dw\)


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Adesso prendiamo il dominio \(\Bbb V = \{x^2 + y^4+z^2\le1\}\) e l'integrale \(\int_{\Bbb V}1\,dx\,dy\,dz\)

Vorrei trasformare il dominio in una sfera tramite \(\Phi:(u,v,w)\rightarrow(x,y,z)\), \(\begin{cases}x=u \\ y^2=v \\ z=w\end{cases}\)

Ma \(\Phi\) NON è una funzione inettiva, quindi devo separare i casi \((y\le0 ,\ y\ge0)\) che risulterebbe nel nuovo dominio \(\Bbb V^-=\{u^2+v^2+w^2\le1,\ v\le0\}\, \bigcup\, \Bbb V^+=\{u^2+v^2+w^2\le1,\ v\ge0\}\).

Ad ogni modo, sono davvero confuso su come \((v\le0 ,\ v\ge0)\) sono venuti fuori; inoltre l'integrale corretto sarebbe: \(\int_{\Bbb V^+}\frac{1}{2 \sqrt{v}}\,du\,dv\,dw \quad + \quad \int_{\Bbb V^-}\frac{1}{2 \sqrt{-v}}\,du\,dv\,dw\)

E sono ancora più confuso sui segni sotto queste radici...
L'unico modo che ho trovato per capire il "come" è applicare differenti cambi di variabili per ogni caso: \(y\ge0 \rightarrow\begin{cases}x=u \\ +\ y^2=v \\ z=w\end{cases} \qquad y\le0 \rightarrow\begin{cases}x=u \\ -\ y^2=v \\ z=w\end{cases}\)

Ma questo modo non mi è sembrato molto lecito..

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Poi ho notato che \((v)\) come variabile indipendente può assumere sia valori positivi che negativi, invece la funzione \((y^2)\) può assumere solo valori positivi; quindi il giusto cambio di variabili è \(\Phi:(u,v,w)\rightarrow(x,y,z)\), \(\begin{cases}x=u \\ y^2=|v| \\ z=w\end{cases}\)

Anche questa \(\Phi\) non mi crea alcun problema: \(\Bbb V\) è semplicemente riscritto come \(\Bbb V^*=\{u^2+v^2+w^2\le1\}\) e l'integarle è fatto semplicemente come \(\int_{\Bbb V^*}\frac{1}{2 \sqrt{|v|}}\,du\,dv\,dw\); e questo metodo mi sembra molto più lecito.

Inoltre questo metodo non mi causa alcuna confusione, perché è una semplice osservazione sulla \(\Phi\) che ho scelto e non ha nulla a che vedere con il dominio \(\Bbb V\), immagino.

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Quello che mi ha davvero causato problemi è questo esercizio:
dato il dominio: \(\Bbb D = \{1\le x\cdot y \le 2 ,\, 1\le \frac{x}{y} \le2\}\), calcolare l'integrale \(\int_{\Bbb D}1\,dx\,dy\).

Ho inizialmente provato il cambio di variabili \(\Phi:(u,v)\rightarrow(x,y)\), \(\begin{cases}x \cdot y=u \\ \frac{x}{y}=v\end{cases}\)

Ma una tale \(\Phi\) è chiaramente non iniettiva, quindi devo separare i casi. Ma, a questo punto, mi ritrovo molto confuso riguardo a cosa davvero significa "separare i casi"...

Poi ho notato che il dominio fornisce l'informazione \((x \cdot y \ge 0 ,\ \frac{x}{y} \ge 0)\), invece \([(u), \ (v)]\) come variabili indipendenti possono assumere sia valori positivi che negativi; quindi ho pensato che il giusto cambio di variabili dovesse essere \(\Phi:(u,v)\rightarrow(x,y)\), \(\begin{cases}x \cdot y=|u| \\ \frac{x}{y}=|v|\end{cases}\)

Ma \(\Bbb D^*=\{1\le|u|\le2,\ 1\le|v|\le2\}\) non è ancora il dominio corretto.. Sono rimasto molto confuso da ciò, ed ho pensato che il problema fosse che quella osservazione è dipendente da \(\Bbb D\), e NON da \(\Phi\) (come sopra).

Infine mi sono accorto che scrivendo un tale \(\Bbb D^*\) stavo perdendo l'informazione che \([(u) ,\ (v)]\) non possono cambiare segno indipendentemente l'uno dall'altro: dato che \((u \simeq x \cdot y) ,\ \left(v \simeq \frac{x}{y}\right)\), allora devono avere lo stesso segno. Quindi il dominio corretto è: \(\Bbb D^*=\{1\le|u|\le2,\ 1\le|v|\le2\ ,\ u \cdot v \ge 0\}\), e l'integrale diventa: \(\int_{\Bbb D^*}\frac{1}{2 |v|}\,du\,dv\). Che è corretto.

Però, questo metodo mi sembra un po' strano perché è strattamente dipendente dal dominio \(\Bbb D\), e non dalla \(\Phi\) scelta, con una perdita di generalità.


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##in fondo##

C'è una teoria GENERALE che è "\(\Phi\)-oriented" e non tiene conto del dominio?

(Se non c'è) Come potrei riconoscere il comportamento della trasformazione del dominio?
– Voglio dire, c'è qualche trucchetto utile oppure qualche situazione comune che posso facilmente individuare? –

Calma, calma, calma.

Il safe side è la formula di cambio di variabili, come descritta (ad esempio) in fondo alla prima parte della lezione 39 di AM2_18. La formula richiede che \(\Phi:A\to B\) sia di classe \(C^1 \), invertibile con inversa di classe \(C^1 \), e che gli Jacobiani suo e della sua inversa siano uniformemente continui. Detta così, non si applicherebbe nemmeno alle coordinate polari, ma poi si aggiusta con un piccolo procedimento di approssimazione.

Detto questo, non ha senso pensare ad una teoria \(\Phi\)-oriented vs una teoria domain-oriented, perché il cambio di variabili, come tutte le funzioni, sono le famose 3 cose, cioè non solo la \(\Phi\), ma anche i suoi insiemi di partenza ed arrivo, che quindi fanno parte a pieno titolo del cambio di variabili.

Per fare un esempio, nell'ultimo caso citato si tratterebbe di osservare che D è costituito da due parti simmetriche, una nel primo ed una nel terzo quadrante. Se ci limitiamo a chiamare D la parte nel primo quadrante, allora l'applicazione

\(\Phi:D\to [1,2]\times[1,2]\)

definita da

\(\Phi(x,y)=(x\cdot y,\frac{x}{y})\)

rientra perfettamente nelle ipotesi della formula di cambio di variabili (e in particolare è invertibile). In realtà, ad essere precisi, andrebbero considerati come partenza ed arrivo due insiemi più grandi che contengano D ed il rettangolo nella loro parte interna, ma questo è un dettaglio.

Lo stesso discorso si applica all'esempio di quella specie di sfera con la quarta potenza: basta quindi spezzarlo in sottodomini su cui il cambio di variabili rientri nelle ipotesi del teorema.

Regola d'oro: molte volte è meglio spezzare un problema in 10 sotto-problemi e trattare questi individualmente, invece che provare a trattare in un solo colpo il problema generale.

Tanto per creare ulteriore confusione, ricordo che in dimensione 1 la formula di cambio di variabili "funziona" sotto certo ipotesi anche se l'applicazione non è per nulla iniettiva, e senza valore assoluto. C'è un analogo di questo anche in più variabili (la famosa formula alla Lax), ma non starei a discuterlo qui (e comunque non risponderebbe alla domanda posta dall'OT).

Quindi per un buon cambio di variabili dovrei avere bene in mente:
1. il dominio di partenza \(\Bbb V^* : (u ,\ v ,\ w)\) –lo dovrei conoscere, essendo quello a cui voglio passare–
2. il dominio di arrivo \(\Bbb V : (x ,\ y ,\ z)\) –dato dal testo–
3. la funzione \(\Phi\) che penso possa andare bene

Poi spezzo \(\Bbb V^*\) e \(\Bbb V\) in parti tali che \(\Phi\) mappi bigettivamente l'uno nell'altro?

Ni, lo spezzamento va fatto prima.

Volendo calcolare

\(\displaystyle\iint_A f(x,y)\,dx\,dy\)

cerco una decomposizione in pezzi disgiunti

\(A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_k\)

e cerco insiemi \(B_1,B_2,\ldots,B_k\) (questi non necessariamente disgiunti, anzi al limite possono anche coincidere tutti) e cerco funzioni \(\Phi_i:B_i\to A_i\) per i che va da 1 a k, in maniera tale che tutte le funzioni verifichino le ipotesi dell'enunciato safe (quindi invertibili tra gli insiemi indicati e con Jacobiani abbastanza regolari).

Se ci riesco posso concludere che

\(\displaystyle\iint_A f(x,y)\,dx\,dy=\sum_{i=1}^k\iint_{A_i}f(x,y)\,dx\,dy=\sum_{i=1}^k\iint_{B_i}f(\Phi(u,v))\cdot|\det J_{\Phi_i}(u,v)|\,du\,dv.\)