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Devo scrivere lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in (0,0) di \(f(x,y) = \frac{x}{1+y^2}\)
Ho notato che equivale a \(x\frac{d}{dy}\arctan{y}\) sviluppando l'arcotangente ho \(x\frac{d}{dy}(y-\frac{y^3}{3}+ o(y^4))\subseteq x - xy^2 + o(xy^3)\) è un metodo corretto? Ce n'è uno più rigoroso?

L'incluso penso sia un errore di scrittura.
Derivare gli sviluppi in generale non è molto corretto: \(x^3\sin (1/x^2)\) è un o-piccolo di \(x^2\) ma la sua derivata....di conseguenza in generale formalmente mettere la derivata fuori dall'o-piccolo non va bene.
Nel tuo caso specifico funziona (perchè?) e si può giustifcare rigorosamente, ma è un pò buffo ottenere lo sviluppo di Taylor di \(1/(1+x^2)\) da quello dell'arcotangente, il cui sviluppo si dimostra usando che è appunto la "primitiva" di \(1/(1+x^2)\)

Grazie mille per la risposta ; in questo caso funziona perché quella "derivata" somiglia allo sviluppo di \((1+y^2)^{-1}\)? Però non riesco a capire in quale altro modo ricondurmi a \(o(\vert\vert (x,y)\vert\vert^4)\). Forse vedendo che \(\frac{1}{1+y^2}-1+y^2 = o(y^3)\) ?

Si, devi utilizzare lo sviluppo di \(1/(1+y^2)\) e questo lo ottieni con una semplice sostituzione dallo sviluppo di \(1/(1-z)\) che dovresti conoscere (si tratta di serie di potenze, se hai problemi vai a rivederti le lezioni di Analisi I).