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Scusi prof, stavo svolgendo esercizi sui limiti all'infinito e mi sono imbattuto spesso in casi in cui il dominio fosse il primo quadrante.
Il mio dubbio riguarda le coordinate polari: se per esempio arrivo ad avere

\(m\rho^4 + \rho^2 \cos(\alpha)\sin(\alpha)\),

io posso dire che, dato che siamo nel primo quadrante, il seno e coseno sono strettamente positivi e quindi per forza maggiori di una quantità negativa? in questo modo otterrei

\( m\rho^4 - \rho^2\) con \(\cos(\alpha)\sin(\alpha) > -1.\)

Cioè il mio dubbio nasce dal fatto che non siamo più su \(\mathbb{R}^2\), dove so che coseno e seno sono >=-1, ma qui ho l'angolo appartenente a \([0;2\pi]\), mentre nel primo quadrante \([0;\pi/2]\)

Perchè quello che mi sorge spontaneo è di sfruttare il segno dei coseni e seni in base all'insieme che ho.
Ps. in questo esempio, posso anche dire semplicemente che il secondo termine dell'addizione è >=0 ? Perchè tanto alla fine, in questo caso, mi conta solo la potenza quarta.

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho riscritto le formule e spostato nella sezione giusta.

Faccio un po' fatica a capire la domanda contenuta nel post precedente. Posso dire che la disuguaglianza

\(m\rho^4+\rho^2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\geq m\rho^4-\rho^2\)

vale sia nel primo quadrante, sia su tutto il piano, sia su un qualunque sottoinsieme del piano, così come la disuguaglianza

\(m\rho^4+\rho^2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\geq m\rho^4-247\rho^2\)

Invece la disuguaglianza

\(m\rho^4+\rho^2\cos(\alpha)\sin(\alpha)\geq m\rho^4\)

vale nel primo quadrante, ma non nel secondo.

Non mi ero espresso molto bene, ma comunque mi ha risolto i dubbi, grazie mille