\(\lim_{x\to+\infty}f(x,y_0) = \lim_{x\to-\infty}f(x,y_0) = +\infty \qquad \forall y_0\in \Bbb R, \\[2ex]
\lim_{y\to+\infty}f(x_0,y) = \lim_{y\to-\infty}f(x_0,y) = -\infty \qquad \forall x_0\in \Bbb R.\)
Determinare se \(f(x,y)\) ha necessariamente un punto stazionario.
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Il mio tentativo:
Suppongo che una tale funzione debba essere qualcosa come: \((x^{2n}-y^{2m})\); comunque ciò che intendo è che entrambi \(f(x,y_0)\) e \(f(x_0,y)\) devono assumere definitivamente la forma di una specie di "parabola".
Essendo che \(f\in C^{\infty}\) allora entrambi \(f(x,y_0)\) e \(f(x_0,y)\) sono continui, quindi:
1.\(f(x,y_0)=g(x),\) ha un minimo assoluto e vuol dire: \(\forall y_0 \in \Bbb R\) c'è almeno un \(x^*\) tale che \(f_x(x^*,y_0)=0;\)
2.\(f(x_0,y)=h(y),\) ha un massimo assoluto e vuol dire: \(\forall x_0 \in \Bbb R\) c'è almeno un \(y^*\) tale che \(f_y(x_0,y^*)=0.\)
Quello che immagino è che la funzione non debba avere necessariamente un punto stazionario: la \(x^*\) che soddisfa (1) potrebbe non essere la \(x_0\) di cui si parla in (2), analogamente la \(y^*\) che soddisfa (2) potrebbe non essere la \(y_0\) di cui si parla in (1). A questo punto, se non ho sbagliato finora, non riesco a dimostrare rigorosamente il mio pensiero…
Qualcuno potrebbe darmi un consiglio, ed eventualmente indicare dove ho sbagliato, o come avrei potuto procedere
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