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Buongiorno a tutti, stavo cercando di risolvere un'esercizio a pag.67 dell'eserciziario:
\(f(x,y) = \frac{xy}{15+x^{2} \cdot y^{2}}, \;\) sul dominio \(\Bbb D = 0 \le y \le 5 - x^{4} \ .\)

1. La funzione è regolare;
2. Il dominio è (chiuso e) limitato \(\rightarrow\) COMPATTO;
Allora MAX, min, esistono.

+PUNTI STAZIONARI INTERNI: \(\begin{cases}
\frac{y(15-x^2 \cdot y^2)}{(15+ x^2 \cdot y^2)^2}=0 \\[2ex]
\frac{x(15-x^2 \cdot y^2)}{(15+ x^2 \cdot y^2)^2}=0 \\[2ex]
(x,y) \in \Bbb D
\end{cases}\)

Risolvo questo sistema con \((y=0)\) oppure \((x^2 \cdot y^2 = 15, y \neq 0)\).
Il primo caso lo escludo poiché \(\forall y \neq 0 \Rightarrow f(x,y) = 0\), invece nel dominio (sono abbastanza certo) che la funzione possa assumere valori sia NEGATIVI, che POSITIVI.

+BORDO: è formato dal "pezzo dell'asse x" dentro la specie di parabola rovesciata, e la stessa parabola rovesciata con \(y \ge 0\).

1.Di nuovo, escludo che punti sul segmento possano essere MAX o min perché sono punti con \(y=0\).

2. *METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE*: non ci sono punti singolari \(\left(\frac{\partial{(y-5+x^4)}}{\partial{y}} \right) = 1\);
\(\begin{cases}
\frac{y(15-x^2 \cdot y^2)}{(15+ x^2 \cdot y^2)^2}=4 \lambda x^3\\[2ex]
\frac{x(15-x^2 \cdot y^2)}{(15+ x^2 \cdot y^2)^2}= \lambda \\[2ex]
(x,y) \in \partial{\Bbb D}
\end{cases}\)

Da cui, \(\begin{cases}
y(15-x^2 \cdot y^2)=4x^{4}(15- x^2 \cdot y^2)\\[2ex]
(x,y) \in \partial{\Bbb D}
\end{cases}\)

Che risolviamo separando i casi: \(\left( x^2 \cdot y^2 = 15, \text{che ho già considerato} \right)\) e \((x^2 \cdot y^2 \neq 15)\).
Da quest'ultimo ricaviamo i punti: \((+1,4), (-1,4)\).

Infine ottengo che:
1. \(f(-1,4) = -\frac{4}{31}\)
2. \(f(1,4) = \frac{4}{31}\)
3. \(f(xy = -\sqrt{15}) = \frac{\sqrt{15}}{30}\)
4. \(f(xy = -\sqrt{15}) = -\frac{\sqrt{15}}{30}\)

Risulta che questi ultimi due siano massimo e minimo.
Quindi concludo che i punti di massimo sono infiniti e sono: \({ 0 \le y \le 5-x^4, x \neq 0, y=\frac{\sqrt{15}}{x}}\);
e che i punti di minimo sono anch'essi infiniti e sono: \({ 0 \le y \le 5-x^4, x \neq 0, y=-\frac{\sqrt{15}}{x}}\).

Ciao, allora io segnalerei quanto segue:

a) Quando trovi i punti stazionari dovresti dire meglio che sono \((0,0)\) e tutti gli infiniti \(x^2\cdot y^2=15\) (non mi è chiaro perché su questo ultimo caso specifichi \(y\neq 0\)).

b) Da segnalare anche che il fatto che \(x^2\cdot y^2=15\) comprenda punti nel dominio vada mostrato (ad es. con un semplice studio di funzione).

c) Quando risolvi il sistema di Lagrange, dovresti specificare i vari casi considerati, in particolare \(\lambda =0\), che non ha soluzioni, e \(\lambda \neq 0\), che porta alle condizioni che hai indicato (probabilmente è un passaggio che hai fatto ma scritto così non si comprende).

d) I punti papabili sul bordo, oltre i casi 1 e 2, dovrebbero essere quelli con \(x^2y^2=15\) che intersecano la "parabola" (forse c'è un refuso nel 3?) e bisogna mostrare che esistono distinti (vd. precedente punto "b") in modo da poter anche concludere che sono infiniti.

In sostanza, mi pare uno svolgimento corretto se lo completi con il punto "b" e se hai svolto il sistema di Lagrange anche considerando il caso \(\lambda=0\).

Buongiorno, innanzitutto grazie per la risposta!

a) In effetti avevo dato per scontato che \(y=0 \Rightarrow x=0\)… invece devo sempre indicare i punti che trovo, poi eventualmente faccio dei ragionamenti.

c) Ammetto che non ho considerato ESPLICITAMENTE i due casi: ho pensato che \(\lambda = 0 \Rightarrow x=0 \bigvee x^2 \cdot y^2 = 15\), pensando che 1.\(x=0 \Rightarrow y=0\) e \((0,0) \notin \partial{\Bbb D}\); 2. l'altro caso avrebbe dato dei punti già compresi nello studio dei punti stazionari… Comunque, non l'ho nemmeno scritto. (Sarebbe stato un errore?)

d) Sì, ho sbagliato a scrivere la 3, che sarebbe dovuta essere \(f(xy=+\sqrt{15})=\frac{\sqrt{15}}{30}\).

Ad ogni modo non ho dimostrato che \(x^2 \cdot y^2 = 15\) abbia punti nel dominio; e neanche che siano distinti.
Per dimostrarlo, potrei fare questo: (??)
1. Cerco l'intersezione tra \(xy=+\sqrt{15}\) (e poi \(xy=-\sqrt{15})\) con la "parabola".
2. Saranno due punti, osservo che \(xy=+\sqrt{15}\) (ad esempio) è convessa tra tali punti, e \(y=5-x^4\) è concava tra gli stessi punti (in particolare rispetto al segmento che li unisce);
3. Detto ciò, posso affermare che tra i punti trovati, \(xy=+\sqrt{15}\), è sempre nel dominio???
4. Supponendo che la cosa funzioni, posso dire che: essendo la funzione continua, dal teorema dei valori intermedi, segue la tesi. (?????)

EstOmBIFy wrote:...
c) Ammetto che non ho considerato ESPLICITAMENTE i due casi: ho pensato che \(\lambda = 0 \Rightarrow x=0 \bigvee x^2 \cdot y^2 = 15\), pensando che 1.\(x=0 \Rightarrow y=0\) e \((0,0) \notin \partial{\Bbb D}\); 2. l'altro caso avrebbe dato dei punti già compresi nello studio dei punti stazionari… Comunque, non l'ho nemmeno scritto. (Sarebbe stato un errore?)
...

Il sistema cui arrivi va bene, ho solo segnalato che mancavano i ragionamenti intermedi che in un vero compito dovresti sempre esplicitare con ordine. Credo sarebbe considerata una mancanza, seppur non grave, in un vero compito (su questo punto i prof. Ghisi e Gobbino potrebbero dirti quanto "non grave").

EstOmBIFy wrote:...

Ad ogni modo non ho dimostrato che \(x^2 \cdot y^2 = 15\) abbia punti nel dominio; e neanche che siano distinti.
Per dimostrarlo, potrei fare questo: (??)
1. Cerco l'intersezione tra \(xy=+\sqrt{15}\) (e poi \(xy=-\sqrt{15})\) con la "parabola".
2. Saranno due punti, osservo che \(xy=+\sqrt{15}\) (ad esempio) è convessa tra tali punti, e \(y=5-x^4\) è concava tra gli stessi punti (in particolare rispetto al segmento che li unisce);
3. Detto ciò, posso affermare che tra i punti trovati, \(xy=+\sqrt{15}\), è sempre nel dominio???
4. Supponendo che la cosa funzioni, posso dire che: essendo la funzione continua, dal teorema dei valori intermedi, segue la tesi. (?????)

Il fatto che siano 2 punti va dimostrato per bene. Intanto possiamo limitarci per simmetria al primo quadrante. Dal sistema si ottiene \(5x-x^5=\sqrt{15}\) e ragionando sulla \(f(x)=5x-x^5\) non è difficile mostrare che esistono almeno 2 intersezioni (esistenza massimo e MVT) anzi che sono esattamente 2 (mediante convessità di \(f(x)\)). Questo assicura che ci siano infiniti punti interni al dominio tra le due intersezioni.

EstOmBIFy wrote:Buongiorno, innanzitutto grazie per la risposta!

a) In effetti avevo dato per scontato che \(y=0 \Rightarrow x=0\)… invece devo sempre indicare i punti che trovo, poi eventualmente faccio dei ragionamenti.

Ni, se osservi preliminarmente che dato che \(x\) assume valori positivi e negativi allora lo fa anche \(f\), di conseguenza puoi dire (come in fondo avevi fatto, anche se non proprio benissimo ) che nella ricerca dei punti di massimo/minimo ti limiti a considerare i punti con \(y\neq 0\). Fare ragionamenti preliminari che semplificano i conti da fare non è sbagliato, anzi! Se invece non li hai fatti (o non sono possibili) dimenticare casi qualcosa costa in un compito.

EstOmBIFy wrote:
c) Ammetto che non ho considerato ESPLICITAMENTE i due casi: ho pensato che \(\lambda = 0 \Rightarrow x=0 \bigvee x^2 \cdot y^2 = 15\), pensando che 1.\(x=0 \Rightarrow y=0\) e \((0,0) \notin \partial{\Bbb D}\); 2. l'altro caso avrebbe dato dei punti già compresi nello studio dei punti stazionari… Comunque, non l'ho nemmeno scritto. (Sarebbe stato un errore?)

Questo invece sarebbe stato un errore (e qualcosa ti sarebbe costato). Mai dividere per 0!

EstOmBIFy wrote: Ad ogni modo non ho dimostrato che \(x^2 \cdot y^2 = 15\) abbia punti nel dominio; e neanche che siano distinti.
Per dimostrarlo, potrei fare questo: (??)
1. Cerco l'intersezione tra \(xy=+\sqrt{15}\) (e poi \(xy=-\sqrt{15})\) con la "parabola".
2. Saranno due punti, osservo che \(xy=+\sqrt{15}\) (ad esempio) è convessa tra tali punti, e \(y=5-x^4\) è concava tra gli stessi punti (in particolare rispetto al segmento che li unisce);
3. Detto ciò, posso affermare che tra i punti trovati, \(xy=+\sqrt{15}\), è sempre nel dominio???
4. Supponendo che la cosa funzioni, posso dire che: essendo la funzione continua, dal teorema dei valori intermedi, segue la tesi. (?????)

Se vuoi farlo come dici tu devi seguire il suggerimento di Gimusi, ma tutti i punti interrogativi che metti fanno pensare che non sei molto sicuro di quello che dici (comunque in questo caso dopo 1) e 2) un disegno sarebbe sufficiente).

Alternativa: devi trovare i punti che verificano (il caso con il segno meno è analogo, simmetrie e occhio ai segni...)
\(xy = \sqrt{15}, \hspace{2em} \mbox{e} \hspace{2em} 0\leq y \leq 5 - x^4.\)
Questo vuol dire \(x> 0\) e \(g(x) = 5x - x^5 \geq \sqrt{15}\) e quindi ti basta fare un piccolo studio (con disegno!) della funzione in una variabile (il massimo di \(g(x)\) è maggiore di \(\sqrt{15}\))

In generale fare qualche disegno è molto utile (meglio un disegno in più che uno in meno... ) Ad esempio quando dici che l'insieme è limitato o spieghi perchè o fai un disegno (altrimenti i punti corrispondenti li perdi). Nel tuo caso probabilmente ti avrei "dato buona" la descrizione successiva del bordo dell'insieme.

Lo svolgimento iniziale non era male in fondo, ma tra una cosa e l'altra qualche punto lo avresti perso in uno scritto.