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Esempio:

\(f(x,y) = \begin{cases} xy\left(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)\qquad & \text{se $(x,y)\neq(0,0)$}, \\ 0\ & \text{se $(x,y)=(0,0)$}. \end{cases}\)

Se calcolo le derivate utilizzando le "regole":

\(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\dfrac{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}\)

\(\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\dfrac{x^5-4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}\)

Osservo che le derivate parziali sono anche continue. Se volessi conoscere \(f_x(0,0)\) potrei calcolare il limite del rapporto incrementale per \(x \to 0\), oppure

\(\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\);

e sarebbe equivalente! (giusto?). Poi faccio lo stesso per \(f_y(0,0)\).

Le cose peggiorano quando voglio conoscere \(f_{xy}(0,0)\) e \(f_{yx}(0,0)\). Le "regole" danno:

\(\displaystyle\frac{\partial f_y(x,y)}{\partial x} = \frac{\partial f_x(x,y)}{\partial y}=\frac{x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}\).

Ma il limite nemmeno esiste! Allora, devo fare il limite del rapporto incrementale di \(f_x(0,y)\) per \(y \to 0\), e lo stesso con \(f_y(x,0)\) per \(x \to 0 \); che risulta in \((-1)\) e \((+1)\) rispettivamente. (E' lo stesso di calcolare il limite sugli assi?).

Quindi, il nocciolo della mia domanda diventa: "quando posso usare la definizione di continuità invece del rapporto incrementale?".

[EDIT by Massimo Gobbino: intanto ho corretto il LaTeX e spostato nella sezione giusta]

Questa in realtà è molto più una domanda di analisi 1 che di analisi 2, visto che le derivate parziali sono le derivate di opportune restrizioni a rette. Il fatto generale è questo.

Sia \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto. Supponiamo di sapere che f è derivabile per ogni \(x\neq x_0\) (ad esempio perché è stata ottenuta a partire dalla funzione "classiche" con operazioni "consentite", e quindi possiamo pure calcolare la derivata usando le "formule", ma questo non ci interessa). Supponiamo anche di sapere che

\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f'(x)=\ell\in\mathbb{R}.\)

Allora f è derivabile in \(x_0\) e la sua derivata vale \(\ell\).

In altre parole, se esiste il limite della derivata, allora questa è per forza la derivata nel punto limite.

Non vale però il viceversa, quindi può accadere che il limite di \(f'(x)\) non esiste, ma \(f'(x_0)\) esiste lo stesso per i fatti suoi.

In questo caso si può dire solo che la derivata nel punto incriminato è compresa tra il liminf ed il limsup della derivata, il che implica tra l'altro pure il primo enunciato.

Tutte queste cose sono discusse nei dettagli nei corsi di analisi 1 per matematica (vedi ad esempio la lezione 123 dell'edizione 2016/17).