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A pag. 72 dell'eserciziario c'è questo limite:

\(\displaystyle\lim_{x^2+y^2 \to +\infty}\frac{\log\left(x^2+e^{|x|+|y|}\right)}{x^2y^2+|x|+|y|}\)

Ho idea che nel dominio \(D=[1, +\infty) \times [1, +\infty)\) tenda a ZERO; ma ogni stima che riesco a fare si conclude con \(f(x,y) \le g(x,y)\), \(g(x,y) \to 1\).

Qualcuno ha idee per lo svolgimento?

Beh, iniziamo a capire come funziona.

Brutalmente, chi comanda al numeratore? Chi comanda al denominatore? Quali sono gli "ordini" in gioco?

Buongiorno professore, scusi per il ritardo, ma non avevo visto che avesse risposto...

Comunque, continuando a pensarci, forse ho trovato una soluzione, gliela mostro:

\(\displaystyle\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{\log{(e^{|x|+|y|}(1+x^2e^{-|x|-|y|})})}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \frac{\log{(1+x^2e^{-(|x|+|y|)})}}{x^2y^2+|x|+|y|}\).

Adesso, \(x^2e^{-|x|-|y|}\) è definitivamente \(\le 1\), quindi abbiamo:

\(\displaystyle\lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(2)}}{x^2y^2+|x|+|y|}\).

Il secondo limite, tende a zero: infatti \({denominatore} \to +\infty\): somma di termini positivi di cui almeno uno è illimitato.
Invece per il primo limite: inizialmente pensavo ad una cosa del tipo: \(|x|+|y| \le x^2y^2\); ma poi ho pensato anche: in \(\Bbb D\) \(|x|+|y| = x + y\), e \((x-1)(y-1) \ge 0\) da cui \(xy + 1 \ge x + y\), ma abbiamo anche \(xy \ge 1\) da cui abbiamo la catena di disuguaglianze: \(x+y \le xy +1 \le xy + xy = 2xy\). Infine otteniamo:

\(\displaystyle\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} \le \frac{2xy}{x^2y^2} = \frac{2}{xy}\)

e quest'ultimo tende a zero; infatti \({denominatore} \to +\infty\) poiché alla peggio \(|x| o |y| \to +\infty\) e l'altra resta \(\ge 1\).

Potrebbe andare bene come svolgimento?

E' corretto. A volere essere davvero pignoli ci sono un paio di piccole imprecisioni sostanzialmente formali: in un compito avresti preso punteggio pieno .

EstOmBIFy wrote: Adesso, \(x^2e^{-|x|-|y|}\) è definitivamente \(\le 1\), quindi abbiamo:
\(\lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(2)}}{x^2y^2+|x|+|y|}\).

Quella che ottieni non è un'ugualianza, ma solo una disugualianza (che tra l'altro andrebbe fatta prima di mettere i limiti)

EstOmBIFy wrote: Il secondo limite, tende a zero: infatti \({denominatore} \to +\infty\): somma di termini positivi di cui almeno uno è illimitato.
\({denominatore} \to +\infty\) poiché alla peggio \(|x| o |y| \to +\infty\) e l'altra resta \(\ge 1\).

Formalmente sarebbe meglio dire in entrambi i casi che sono maggiori di \(|x|+|y|\) ed eventualmente provare che questo tende a \(+\infty\) con le polari (ma è chiaro che hai capito alla perfezione cosa succede). Stessa cosa per il limite di \(x^2 e^{-|x|-|y|}.\)