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Salve a tutti, avrei qualche dubbio riguardo il significato geometrico della derivata direzionale.
Se io prendo una f(x,y)= z che so che mi dà un valore sull'asse z per ciascun punto,poi considero un vettore v(a,b). Ora arriva quello che ho capito io ma non so se è giusto: considero un piano perpendicolare al piano xy e che contiene il mio vettore v, in questo modo interseca il grafico in 3 dimensioni che si è creato sull'asse Z e quindi l'intersezione dà una g(t); questa g(t) mi indica l'altezza a cui si trova un omino che sta percorrendo il vettore v?
l'altro dubbio è quando ho g(t) e la derivo... cosa mi indica questa derivata?
Quindi se avessi una derivata direzionale positica/ negativa cosa cambierebbe?

Calma calma, andiamo con ordine

Davide Fumagalli wrote: considero un piano perpendicolare al piano xy e che contiene il mio vettore v

Questo non è molto chiaro. Che cos'è il piano perpendicolare al piano base e che contiene un certo vettore v?

Diciamo tutto meglio. Intanto manca un ingrediente fondamentale, e cioè il punto \((x_0,y_0)\) in cui andiamo a calcolare la derivata direzionale. Ora consideriamo la retta nel piano base che passa per il punto dato e ha direzione data dal vettore v. Questa retta è

\((x_0,y_0)+t(a,b)\)

al variare del parametro t. Ora ha senso finalmente considerare il piano perpendicolare al piano base che contiene la retta data.

Davide Fumagalli wrote:interseca il grafico in 3 dimensioni che si è creato sull'asse Z

Il grafico non si crea sull'asse z, ma nello spazio 3-dimensionale.

Davide Fumagalli wrote:questa g(t) mi indica l'altezza a cui si trova un omino che sta percorrendo il vettore v?

Cosa vuol dire percorrere un vettore? L'omino sta percorrendo la retta. O ancora meglio, l'omino sta camminando sul grafico (la montagnetta) ed il suo percorso, visto dall'alto, coincide con il percorrere la retta. Diciamo che possiamo pensare il piano base xy come una "mappa" della zona, e la retta sarebbe il percorso dell'omino visto sulla cartina. Ancora meglio, \((x_0,y_0)+t(a,b)\) ci dice il punto della cartina in cui vedremmo l'omino al tempo t se avesse il GPS attivato . La sua quota, se l'omino avesse pure un altimetro con sé, sarebbe \(f(x_0+ta,y_0+tb)\) che è proprio la g(t).

Davide Fumagalli wrote: l'altro dubbio è quando ho g(t) e la derivo... cosa mi indica questa derivata?
Quindi se avessi una derivata direzionale positica/ negativa cosa cambierebbe?

A questo punto diventa analisi 1. Se la derivata è positiva, l'omino sta salendo, cioè il suo percorso lo porta verso linee di livello di f corrispondenti a valori più grandi.

P.S. Sposto il messaggio nella sezione giusta.