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Salve a tutti!
Stavo svolgendo i compiti assegnati a fisica nell'anno 2018 e ho avuto un dubbio su un esercizio
Data f(x, y) = \(\frac{x^2y^3+sin(x^2y)}{1+x^4+ |y|^7}\) devo prima provare che l'origine è un punto stazionario, e questo si fa con lo sviluppo di Taylor intorno all'origine; poi chiede di stabilire se la funzione ammette max o min su R2 e di dimostrare che ammette almeno cinque punti stazionari. Come procedo in questo caso?

Grazie mille in anticipo

gio wrote:Salve a tutti!
Stavo svolgendo i compiti assegnati a fisica nell'anno 2018 e ho avuto un dubbio su un esercizio
Data f(x, y) = \(\frac{x^2y^3+sin(x^2y)}{1+x^4+ |y|^7}\) devo prima provare che l'origine è un punto stazionario, e questo si fa con lo sviluppo di Taylor intorno all'origine; poi chiede di stabilire se la funzione ammette max o min su R2 e di dimostrare che ammette almeno cinque punti stazionari. Come procedo in questo caso?

Grazie mille in anticipo

Per prima cosa dimostra che il limite all'infinito è 0 (ad esempio con un cambio di variabile che "pareggi" gli esponenti al denominatore). A questo punto dato che la funzione assume valori positivi e nagativi (ad esempio perchè l'origine è una "sella") esistono sia il massimo che il minimo assoluto e sono in punti stazionari. Dato che l'origine è una "sella" ci sono quindi almeno altri due punti stazionari. La funzione in \(x\) è pari quindi se \((x_0,y_0)\) è un punto di minimo e \(x_0\neq 0\) allora anche \((-x_0,y_0)\) è punto di minimo; d'altra parte per \(x = 0\) la funzione è nulla e il minimo è negativo dunque \(x_0\neq 0\). Analogo discorso per i punti di massimo.

In realtà in questo caso il numero di punti stazionari si faceva bene anche calcolando il gradiente direttamente (occhio solo alle derivate del valore assoluto).

avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

M.A.L wrote:avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

Sì, dato che nello sviluppo non compaiono i termini del primo ordine allora l'origine è un punto stazionario.

Non c'è alcun bisogno di ulteriori considerazioni.

M.A.L wrote:avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

Brutalmente (per capire come vanno le cose), se vuoi solo controllare se il punto è stazionario in questo caso la risposta è si, ma non è rigoroso, quello che stai usando senza dirlo è che il denominatore lo puoi scrivere come 1 + o(1) e questo lo rende rigoroso senza costarti fatica. Occhio che quello che ottieni se sviluppi solo il numeratore non è lo sviluppo di Taylor della funzione e non lo potresti usare per classificare l'origine. La richiesta nell'esercizio di mostrare che l'origine è stazionario è messa solo perchè è preliminare alla vera domanda, che è classificare l'origine.