Avrei una domanda sulla formula di Taylor e in particolare vorrei capire fino a che punto si può estendere. Più precisamente:
Siano V e W due spazi vettoriali normati. Si consideri la successione di spazi normati definita per ricorrenza:
\({L}^0\)(V,W) = W
\({L}^{n+1}\)(V,W) = lo spazio normato delle funzioni lineari continue tra V e \({L}^n\)(V,W), con la norma "classica"
Per ogni N quelli definiti sopra sono tutti spazi vettoriali normati. Ha quindi senso definire il differenziale di una funzione da V in
\({L}^{n}\)(V,W) per ogni N. In particolare ha senso definire i differenziali di ogni ordine per una funzione da V in W e Il differenziale di ordine N di una funzione, posto che esista, è una funzione tra V e \({L}^{n}\)(V,W). Inoltre preso un elemento \({D}^{n}\) (che a posteriori vuole essere il differenziale di ordine n di una funzione tra V e W) appartenente a \({L}^{n}\)(V,W) posso definire una funzione \({D}^{n - m}\) = \({D}^n({V}^{m})\) da V in \({L}^{n - m}\)(V,W) "dando in pasto a \({D}^{n}\) un elemento di V m-volte".
Se una funzione F da V in W è differenziabile n volte vale una formula di Taylor? Per il primo ordine dovrebbe valere (Dovrebbe seguire dalla definizione di differenziale) indipendentemente dalla dimensione di V e W ma per gli ordini successivi vale che
F(x) = F(0) + \(\sum_{i=1}^{n}{\frac{D_{F_0}^i(x^i)}{i!}}\) + o(\(\|x\|^n\))
Sia in dimensione finita che infinita?
Poi magari, quando siamo in dimensione finita e una volta fissate una base di W e una di V, si potrebbero ritrovare le derivate parziali di ogni ordine, come "componenti" dei differenziali. In questa maniera uno potrebbe "svincolarsi" dal dover per forza scegliere una base.
Grazie mille in anticipo!
