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Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:

\(\lim\limits_{x^2+y^4 \to +\infty} x^2+y^2\)

come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa \(+\infty\), ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre \(y^4\), ma poi non so come trattare il \(-y^4+y^2\) che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.

Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente.

Le vie di uscita classiche sono due.

La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che

\(x^2+y^2\geq\sqrt{x^2+y^4}-1\),

cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.

La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione \((x_n,y_n)\) tale che \(x_n^2+y_n^4\to +\infty\). A meno di sottosuccessioni sappiamo che \(x_n\) e \(y_n\) ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è \(\pm\infty\), perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).

[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]

Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni \(x_n\) e \(y_n\), e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a \(limsup\) e una sottosuccessione che converge a \(liminf\). A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a \(+\infty\) o a \(-\infty\). Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione \(x_{n_{k}}^2+y_{n_{k}}^2\) che tende a \(+\infty\), quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione \(x_n^2+y_n^2\) tende a \(+\infty\)

Ci devo riflettere

Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).

Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia \(\ell\) il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione \((x_n,y_n)\) tale che

\(x_n^2+y_n^4\to+\infty\qquad\) e \(\qquad x_n^2+y_n^2\to\ell\)

Per quanto visto sopra sappiamo che esiste \(n_k\to +\infty\) tale che

\(x_{n_k}^2+y_{n_k}^2\to +\infty\)

il che forza \(\ell=+\infty\).

Adesso ho capito!! Grazie mille!

Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:

\(u^{80}+v^{132} \to +\infty \iff u^2+v^2 \to +\infty\)