Dubbi sul rapporto tra differenziabilità e derivate parziali

[Federico.M]

Se si dimostra la non differenziabilità in un punto di una funzione di due variabili, tramite la definizione di differenziale, pur esistendo in quel punto le derivate parziali prime, si può affermare, in virtù della versione risparmiosa del teorema del differenziale totale, che almeno una delle due suddette derivate non è continua ( … e, conseguentemente, non è a sua volta differenziabile ) ??

Pertanto, se così è, si può affermare, senza ulteriori verifiche e in virtù del secondo teorema di inversione, che le derivate seconde miste non coincidono in quel punto ( indipendentemente dalla loro esistenza ) ??

Allego esercizio 2, tratto da "continuità e differenziabilità 1", dove viene applicato il precedente ragionamento...

[Federico.M]

Posto una versione rivista e corretta dell'esercizio 2 nella sua parte finale.