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Buongiorno, come posso risolvere questo limite di cui non riesco a trovare una soluzione?
\(x^2+y^2+z^2-xyz\) per \([x^2+y^2+z^2→ +∞]\) nel dominio \(D={(x,y,z) in R^3 : 1≤y≤2, 0≤x≤z}\)

Grazie in anticipo per la gentile attenzione

allego un possibile svolgimento

[+] hint

farsi un'idea di D e utilizzare le coordinate cilindriche

PS credo che i limiti in più variabili vadano postati in "Calcolo Differenziale in più variabili"

GIMUSI wrote:allego un possibile svolgimento

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farsi un'idea di D e utilizzare le coordinate cilindriche

PS credo che i limiti in più variabili vadano postati in "Calcolo Differenziale in più variabili"

grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

Valerio wrote:...
grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

ho suddiviso i casi:

se \(ϑ = π/4\) \(1-y/2sin(2ϑ)=1-y/2\) quindi:
- se \(y=2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)=0\) e il limite è 4
- se \(1 ≤ y < 2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\)

se \(ϑ∈ (π/4 ,π/2]\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\) indipendentemente dal valore di y

GIMUSI wrote:

Valerio wrote:...
grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

ho suddiviso i casi:

se \(ϑ = π/4\) \(1-y/2sin(2ϑ)=1-y/2\) quindi:
- se \(y=2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)=0\) e il limite è 4
- se \(1 ≤ y < 2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\)

se \(ϑ∈ (π/4 ,π/2]\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\) indipendentemente dal valore di y

Perfetto come sempre grazie mille per l'aiuto

Uhm, su questo esercizio mi pare che occorra fare ancora un po' di chiarezza. Per entrare più nello specifico, propongo delle varianti.

La funzione è sempre

\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xyz\)

Consideriamo poi i due insiemi

\(A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1\leq y\leq 2,\ 0\leq x\leq z\}\)

\(B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1< y < 2,\ 0 < x < z\}\)

Le domande sono due.

1. (Abbastanza facile) Stabilire se esiste il limite all'infinito di f ristretta ai due insiemi A e B.
2. (Decisamente più delicata) In caso di risposta negativa alla domanda precedente, determinare liminf e limsup (sempre sia per la restrizione ad A sia per la restrizione a B).

Massimo Gobbino wrote:Uhm, su questo esercizio mi pare che occorra fare ancora un po' di chiarezza...

quindi lo svolgimento precedente è sbagliato?

Massimo Gobbino wrote:...Per entrare più nello specifico, propongo delle varianti.
...

allego un tentativo di svolgimento per le varianti proposte