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Salve, vi riporto un esercizio riguardo a massimi e minimi in cui ho alcuni dubbi.

Consideriamo \(f : \mathbb{R^3}\to\mathbb{R}\), \(f(x,y,z)=y\sin(x)+z^2\).

1. determinare \(sup_\mathbb{R^3}f\) e \(inf_\mathbb{R^3}f\)
2. determinare massimi e minimi locali e globali, nel caso esistano.
3. determinare i punti di massimo e minimo locale e globale, nel caso esistano.

Per il primo punto ho osservato che la funzione non è limitata e il sup risulta +\(\infty\) mentre l'inf è -\(\infty\).
Per il secondo punto, posso gia dire che massimi e minimi globali non ce ne stanno visto che la funzione non è limitata, quindi ho calcolato le derivate parziali e poste uguali a zero trovando cosi i punti critici che mi vengono P=(k\(\pi\),0,0). Dopo di che li vado a sostituire nella funzione e risulta f=0.
Da qui sono bloccato. Il procedimento è giusto? a questo punto come faccio a dire se è un punto di massimo o minimo?

Giacomo Bruno wrote:...Da qui sono bloccato. Il procedimento è giusto? a questo punto come faccio a dire se è un punto di massimo o minimo?

devi considerare la hessiana (ossia la matrice associata alla forma quadratica che approssima la funzione nell'intorno dei punti stazionari) e studiarne la segnatura (vd. anche lez. 13 AM2 2015-16)

allego qui un possibile svolgimento