Sviluppi di Taylor 2

[AntonioC]

Ciao a tutti
Esercizio da Scheda esercizi nr.18 Sviluppi di taylor 2 da "Esercizi di analisi matematica 2".
scrivere lo sviluppo di taylor di ordine 4 in un intorno di (0,0) della funzione data, stabilire se l'origine è un punto stazionario(S) e in caso affermativo se si tratta di un punto di massimo(M) o di minimo(m) locale:
f(x,y)=sin(x-y)arctan(x-y).
si ottiene:
x^2-2xy+y^2-1/2(x-y)^4.
Dallo sviluppo si nota che i coefficienti dei termini di primo grado sono nulli quindi ho un punto stazionario in (0,0)
Facendo L'hessiano associato allo sviluppo ottengo determinante nullo.
qualcuno potrebbe darmi una traccia su come procedere?
grazie per l'attenzione

[Massimo Gobbino]

qualcuno potrebbe darmi una traccia su come procedere?

Cerca di stabilire (con metodi precorsistici) il segno di quella funzione in un intorno dell'origine.

[AntonioC]

Grazie per avermi risposto, e soprattutto grazie per i video delle lezioni reperibile dall'archivio didattico che sono per uno studente lavoratore come me una manna dal cielo, mi sono studiato tutti i video di analisi 1, algebra lineare e ora sono con analisi 2.
Se faccio uno studio restringendo o alle rette passanti per l'origine noto che la f(x,y) è sempre positiva in un intorno del 'origine.Si annulla per x=y.
Se pongo y=kx ( k parametro ), e vado a studiare il segno della derivata prima vedo che ho un minimo locale in (0,0).

[ghisi]

Così non funziona. E' come fare il limite "sulle rette". Pensa alla funzione \(x^2(x^2 - y^4)\). L'origine NON è un punto di minimo relativo (basta mettersi sulla curva \(x = y^4\)) ma se ti restringi alle rette sembrerebbe di sì. In realtà la tua funzione è positiva in un intorno dell'origine in quanto se poni \(x-y = z\) ti accorgi che la funzione diventa \(\sin z \arctan z\) che è positiva in un intorno di \(0\).