\(\displaystyle \lim_{x^2+y^2 \to +\infty} \frac{xy}{1+x^2+y^4} = 0\)
posta \(\displaystyle g(x,y) = \frac{xy}{1+x^2+y^4}\) si nota che \(\displaystyle g(-x,-y)=g(x,y)\) e che \(\displaystyle g(x,-y)=-g(x,y)\)
per cui è sufficiente mostrare che il limite è \(0\) in \(\mathbb{R} \times [0,+\infty)\). A questo punto pongo \(\displaystyle \varphi(u,v) = (u,\sqrt{v})\) e osservo che è un omeomorfismo di \(\mathbb{R} \times [0,+\infty)\) in sé e sono tentato di scrivere
\(\displaystyle \lim_{x^2+y^2 \to +\infty} g(x,y) = \lim_{u^2+v^2 \to +\infty} g(\varphi(u,v))\)
ma \(\displaystyle g(\varphi(u,v))=\frac{u\sqrt{v}}{1+u^2+v^2}\) e questo viene bene in coordinate polari perché va come \(1/\sqrt{\rho}\)
In generale come si giustificano passaggi del genere? In questo caso sono interessato a provare che se il limite di destra esiste allora esiste anche quello di sinistra e i due coincidono e poi dimostro che quello di destra esiste usando le polari. Per dimostrare l'implicazione è sufficiente la continuità? Il fatto che \(\varphi\) è continua mi dice che l'immagine di una palla centrata nell'origine è contenuta in una palla in arrivo. In generale, sia per limiti all'infinito che in un punto, per una freccia sola è sufficiente la continuità?
Spero di essermi spiegato, ad ogni modo grazie a chi risponderà o avrà voglia di condividere altri dubbi
