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vorrei sapere se esiste un metodo standard per trovare inf , sup e massimi e minimi quando il dominio è non limitato,
e come capire se il sup/inf è anche massimo/minimo .
grazie

No non esiste nessun metodo *standard* che possa funzionare sempre. Ci sono alcune cose che ogni tanto funzionano. Una delle prime cose da fare è cercare di capire quale e' il comportamento all'infinito (sul dominio in questione!).
Ad esempio se c'e' il limite all'infinito allora grazie a Weiestrass generalizzato sai che esistono il massimo e/o il minimo che si trovano poi con la procedura standard (punti stazionari, punti in cui la funzione non è regolare e comportamento sul bordo). Ad esempio se il limite è [tex]+\infty[/tex] allora il sup è [tex]+\infty[/tex] ed esiste il minimo; se il limite è zero e la funzione assume solo valori non negativi allora l'inf è 0 (e potrà essere o meno un minimo) ed esiste il massimo, e così via...
Se invece il limite non c' è ma ci sono curve (sempre nel dominio!!!) su cui la funzione tende a [tex]+\infty[/tex] e altre su cui tende a [tex]-\infty[/tex] allora il sup è [tex]+\infty[/tex] e l'inf [tex]-\infty[/tex]; se ci sono curve su cui tende ad 1 e riesci a provare che la funzione è sempre [tex]\leq 1[/tex] allora il sup è 1 e potrà essere o meno un massimo a seconda che ci sia un punto in cui vale 1 (e lo trovi tra i punti stazionari, punti in cui la funzione non è regolare o sul bordo).
Oppure potresti riuscire a trovare un valore assunto dalla funzione che riesci a dimostrare essere un massimo e/o un minimo assoluto: ad esempio [tex]\sin^2(x^2y) + \sin^2 (x+y)[/tex] è una funzione non negativa che si annulla quindi il minimo è 0.
Si potrebbe continuare all'infinito con casi vari, come vedi non c'è una strategia unica...

nel caso in cui inf e sup siano uguali a max e min rispettivamente li trovo sempre tra i punti stazionari/singolari ?
cioè basta che verifico che il massimo/minimo assoluto trovato con i metodi classici : punti stazionari, singolari , bordo ... è uguale al sup/inf ?
questo vale anche nei domini limitati ?

altra cosa:
in un dominio limitato devo sempre ricavare le condizioni sulle singole variabili ?

r.et3 wrote:nel caso in cui inf e sup siano uguali a max e min rispettivamente li trovo sempre tra i punti stazionari/singolari ?
cioè basta che verifico che il massimo/minimo assoluto trovato con i metodi classici : punti stazionari, singolari , bordo ... è uguale al sup/inf ?
questo vale anche nei domini limitati ??

Se esistono il massimo e/o il minimo ovviamente coincidono con inf e/o sup. Quindi la difficoltà è DIMOSTRARE che il massimo e/o il minimo esistono, una volta fatto questo per trovare i punti basta lavorare con i metodi classici, non ha importanza che il dominio sia limitato o no.

r.et3 wrote: altra cosa:
in un dominio limitato devo sempre ricavare le condizioni sulle singole variabili ?

Qui non capisco prorpio cosa vuoi dire

Non riesco a muovermi con questo esercizio. Una mano?

Funzione: [tex]xe^{-(x^2+y^2)[/tex]

Bisogna trovare il numero di: Minimi Globali, Minimi Locali, Massimi Globali, Massimi Locali e Altri Stazionari.

Grazie!

volm92 wrote:Non riesco a muovermi con questo esercizio. Una mano?

Funzione: [tex]xe^{-(x^2+y^2)[/tex]

Bisogna trovare il numero di: Minimi Globali, Minimi Locali, Massimi Globali, Massimi Locali e Altri Stazionari.

Grazie!

allego lo svolgimento...prima di cercare massimi e minimi è opportuno fare uno studio preliminare con weierstrass

PS questa funzione mi ha fatto venire in mente una possibile soluzione per la famigerata funzione hard hard della lezione 19

ES. di inf/sup/ max/ min 6
Funzione: x^2 (x^2 + y^2 +1)^-1 ,sul piano
Funzione: x^2 + y^2 + 4 arctan (xy) ancora sul piano

Aggiungo questo esercizio di Inf - Sup - Max - Min 7:

[tex]f(x, y)=x+arctan(x+y)[/tex] nell'insieme [tex]A=\{(x, y) \in \Re^2 : x^2-2x \leq 0\}[/tex]

ho provato varie volte ma mi viene sempre un risultato diverso da quello riportato nelle soluzioni, ovvero: [tex]Sup: 2+\frac{\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]max: 0, Inf: \frac{-\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]min: 0[/tex]

nomeutente wrote:ES. di inf/sup/ max/ min 6
Funzione: x^2 (x^2 + y^2 +1)^-1 ,sul piano
Funzione: x^2 + y^2 + 4 arctan (xy) ancora sul piano

allego lo svolgimento dei due esercizi

Grazie GIMUSI
Ti chiedo un favorino: puoi descrivere l'approccio più generale per questi problemi?
PS. Perché calcoli la funzione in 0 all'inizio?

nomeutente wrote:Grazie GIMUSI
Ti chiedo un favorino: puoi descrivere l'approccio più generale per questi problemi?

non è mai facile individuare una procedura unica che copra tutti i casi possibili

innanzitutto ti consiglio di riguardare bene tutti gli esempi fatti a lezione (n°12 e successive)

senza pretendere di coprire la generalità dei casi, una procedura indicativa potrebbe essere la seguente:

1) studio della continuità e dominio della funzione: dov’è definita la funzione, eventuali punti singolari, ecc.

2) studio del comportamento sul bordo e/o all’infinito e/o nei punti singolari

3) determinazione del sup e dell’inf (che esistono sempre)

a questo punto:

se sup=[tex]+\infty[/tex] e inf=[tex]-\infty[/tex] allora max e min non esistono

altrimenti sulla base dei teoremi di weierstrass si possono ottenere condizioni sufficienti per l’esistenza del max o del min o di entrambi (vd. anche lezione 103 AM01 2010/11)

se max e min esistono vanno ricercati tra i seguenti:
- punti del bordo
- punti singolari
- punti stazionari

nomeutente wrote:...
PS. Perché calcoli la funzione in 0 all'inizio?

la necessità di determinare f nell’origine (o in un altro punto del dominio) è legata all’applicazione del teorema di weierstrass e sue varianti

Gabe wrote:Aggiungo questo esercizio di Inf - Sup - Max - Min 7:

[tex]f(x, y)=x+arctan(x+y)[/tex] nell'insieme [tex]A=\{(x, y) \in \Re^2 : x^2-2x \leq 0\}[/tex]

ho provato varie volte ma mi viene sempre un risultato diverso da quello riportato nelle soluzioni, ovvero: [tex]Sup: 2+\frac{\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]max: 0, Inf: \frac{-\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]min: 0[/tex]

allego lo svolgimento con il quale ottengo i risultati che hai indicato

Si giusto, continuavo a disegnare l'insieme male

Forse non è l'argomento giusto per fare questa domanda, ma io ci provo lo stesso:

[tex]f(x,y,z)=x^2-xy^2+z^2[/tex] sul dominio [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2+1=0\}[/tex]

Determinare MASSIMO e MINIMO di [tex]f[/tex] sul dominio [tex]D[/tex]

Come posso procedere con i moltiplicatori di Lagrange? Mi ci intrigo

Grazie a chi mi risponderà!

volm92 wrote:Forse non è l'argomento giusto per fare questa domanda, ma io ci provo lo stesso:

[tex]f(x,y,z)=x^2-xy^2+z^2[/tex] sul dominio [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2+1=0\}[/tex]

Determinare MASSIMO e MINIMO di [tex]f[/tex] sul dominio [tex]D[/tex]

Come posso procedere con i moltiplicatori di Lagrange? Mi ci intrigo

Grazie a chi mi risponderà!

credo che il dominio corretto sia [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2-1=0\}[/tex] altrimenti l'esercizio non avrebbe senso

inoltre non si stratta di un problema di max/min su insiemi illimitati ma di un problema di max/min vincolati (su un compatto)

allego un possibile svolgimento con due metodi: il primo di sostituzione, il secondo con lagrange