Dubbio su massimi e minimi

[gio]

Salve a tutti!
Stavo svolgendo i compiti assegnati a fisica nell'anno 2018 e ho avuto un dubbio su un esercizio
Data f(x, y) = \(\frac{x^2y^3+sin(x^2y)}{1+x^4+ |y|^7}\) devo prima provare che l'origine è un punto stazionario, e questo si fa con lo sviluppo di Taylor intorno all'origine; poi chiede di stabilire se la funzione ammette max o min su R2 e di dimostrare che ammette almeno cinque punti stazionari. Come procedo in questo caso?

Grazie mille in anticipo

[ghisi]

Salve a tutti!
Stavo svolgendo i compiti assegnati a fisica nell'anno 2018 e ho avuto un dubbio su un esercizio
Data f(x, y) = \(\frac{x^2y^3+sin(x^2y)}{1+x^4+ |y|^7}\) devo prima provare che l'origine è un punto stazionario, e questo si fa con lo sviluppo di Taylor intorno all'origine; poi chiede di stabilire se la funzione ammette max o min su R2 e di dimostrare che ammette almeno cinque punti stazionari. Come procedo in questo caso?

Grazie mille in anticipo

Per prima cosa dimostra che il limite all'infinito è 0 (ad esempio con un cambio di variabile che "pareggi" gli esponenti al denominatore). A questo punto dato che la funzione assume valori positivi e nagativi (ad esempio perchè l'origine è una "sella") esistono sia il massimo che il minimo assoluto e sono in punti stazionari. Dato che l'origine è una "sella" ci sono quindi almeno altri due punti stazionari. La funzione in \(x\) è pari quindi se \((x_0,y_0)\) è un punto di minimo e \(x_0\neq 0\) allora anche \((-x_0,y_0)\) è punto di minimo; d'altra parte per \(x = 0\) la funzione è nulla e il minimo è negativo dunque \(x_0\neq 0\). Analogo discorso per i punti di massimo.

In realtà in questo caso il numero di punti stazionari si faceva bene anche calcolando il gradiente direttamente (occhio solo alle derivate del valore assoluto).

[M.A.L]

avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

[GIMUSI]

avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

Sì, dato che nello sviluppo non compaiono i termini del primo ordine allora l'origine è un punto stazionario.

Non c'è alcun bisogno di ulteriori considerazioni.

[ghisi]

avevo un dubbio nel provare a vedere se (0,0) è stazionario, è sufficiente sviluppare il numeratore e controllare se compare o meno il termine al prim'ordine o bisogna portare la funzione ad una forma quadratica ?

Brutalmente (per capire come vanno le cose), se vuoi solo controllare se il punto è stazionario in questo caso la risposta è si, ma non è rigoroso, quello che stai usando senza dirlo è che il denominatore lo puoi scrivere come 1 + o(1) e questo lo rende rigoroso senza costarti fatica. Occhio che quello che ottieni se sviluppi solo il numeratore non è lo sviluppo di Taylor della funzione e non lo potresti usare per classificare l'origine. La richiesta nell'esercizio di mostrare che l'origine è stazionario è messa solo perchè è preliminare alla vera domanda, che è classificare l'origine.