Limite con parametro

[Davide P.]

Salve, volevo sapere se qualcuno ha idea di come risolvere il punto bonus dell'esercizio in allegato. Abbiamo già dimostrato che per \(\alpha >= 1\) non ha limite, ma riusciamo a procedere oltre. Grazie.

[ghisi]

Salve, volevo sapere se qualcuno ha idea di come risolvere il punto bonus dell'esercizio in allegato. Abbiamo già dimostrato che per \(\alpha >= 1\) non ha limite, ma riusciamo a procedere oltre. Grazie.

Dividete l'insieme in 3 parti: \([1,+\infty[\times [1,+\infty[\\), \([1,+\infty[\times [0,1]\\), \([0,1]\times [1,+\infty[\\) (il quadrato vicino all'origine non serve ovviamente). Sul primo insieme avete già fatto i conti. Sul secondo il limite c'è sempre (0 ovviamente) Per il terzo avete già fatto il caso \(\alpha \geq 1\), e per il resto la stima chiave è questa:

\(\displaystyle \frac{xy^{\alpha}}{1 + x^2 + x^2y^2} \leq \frac{xy^{\alpha}}{1 + x^2y^2} = \frac{xy}{1 + x^2 y^2} y^{\alpha-1}\leq \frac{1}{2} y^{\alpha-1}\)

[Davide P.]

Perfetto, grazie mille.

[EstOmBIFy]

Posso chiedere come è stata ottenuta l'ultima stima?
Ho provato con un semplice studio di funzione:
\(xy = t\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(\left|\frac{t}{1+t^2}\right| \le \frac{1}{2}\) \(\;\) \(\forall t \in \Bbb R\)
Oppure c'è un altro metodo che utilizza il fatto che siamo nel terzo dominio?

[ghisi]

Posso chiedere come è stata ottenuta l'ultima stima?
Ho provato con un semplice studio di funzione:
\(xy = t\) \(\quad \Rightarrow \quad\) \(\left|\frac{t}{1+t^2}\right| \le \frac{1}{2}\) \(\;\) \(\forall t \in \Bbb R\)
Oppure c'è un altro metodo che utilizza il fatto che siamo nel terzo dominio?

Non mi pare ci siano altri modi rapidi: la cosa migliore è usare lo studio di funzione in una variabile.