Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:
\(\lim\limits_{x^2+y^4 \to +\infty} x^2+y^2\)
come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa \(+\infty\), ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre \(y^4\), ma poi non so come trattare il \(-y^4+y^2\) che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
Limite “distanza”
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keine_ahnung
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Massimo Gobbino
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Re: Limite “distanza”
Questi limiti sono sempre molto chiari intuitivamente, ma seccanti formalmente.
Le vie di uscita classiche sono due.
La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che
\(x^2+y^2\geq\sqrt{x^2+y^4}-1\),
cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.
La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione \((x_n,y_n)\) tale che \(x_n^2+y_n^4\to +\infty\). A meno di sottosuccessioni sappiamo che \(x_n\) e \(y_n\) ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è \(\pm\infty\), perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).
[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]
Le vie di uscita classiche sono due.
La prima è trovare delle disuguaglianze. Nel caso specifico si può osservare che
\(x^2+y^2\geq\sqrt{x^2+y^4}-1\),
cosa che si dimostra facilmente portando l'1 a sinistra e poi facendo i quadrati. A questo punto la tesi segue per confronto. Certo, occorre farsi venire in mente la disuguaglianza, e qui entra in gioco l'esperienza.
La seconda è il metodo delle successioni. Prendiamo una qualunque successione \((x_n,y_n)\) tale che \(x_n^2+y_n^4\to +\infty\). A meno di sottosuccessioni sappiamo che \(x_n\) e \(y_n\) ammettono limite nei reali estesi. Osserviamo ora che almeno uno di questi due limiti è \(\pm\infty\), perché altrimenti l'ipotesi non sarebbe soddisfatta. A questo punto il gioco è fatto (qui ovviamente serve tutta la teoria sul rapporto tra i limiti e le successioni).
[Ora sposto nella sezione sulle funzioni di più variabili, che è più appropriata per questa domanda]
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keine_ahnung
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Re: Limite “distanza”
Grazie! Gentilissimo come al solito!
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni \(x_n\) e \(y_n\), e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a \(limsup\) e una sottosuccessione che converge a \(liminf\). A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a \(+\infty\) o a \(-\infty\). Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione \(x_{n_{k}}^2+y_{n_{k}}^2\) che tende a \(+\infty\), quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione \(x_n^2+y_n^2\) tende a \(+\infty\)
Ci devo riflettere
Se ho capito bene nella seconda dimostrazione si considerano separatamente le due successioni \(x_n\) e \(y_n\), e si usa il fatto che ogni successione ha una sottosuccessione che converge a \(limsup\) e una sottosuccessione che converge a \(liminf\). A questo punto, per rispettare il limite di partenza, almeno una delle 2 successioni deve essere non limitata, quindi deve avere una sottosuccessione tendente a \(+\infty\) o a \(-\infty\). Fino a qui è corretto?
Da qui si può concludere che esiste una sottosuccessione \(x_{n_{k}}^2+y_{n_{k}}^2\) che tende a \(+\infty\), quello che non mi è chiaro è come da qui si faccia a concludere che l’intera successione \(x_n^2+y_n^2\) tende a \(+\infty\)
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Massimo Gobbino
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Re: Limite “distanza”
Dubbi legittimissimi ... la teoria non è per nulla banale, e quello che si usa qui è il famoso lemma della sotto-sotto (vedi, per esempio, AM_17 lezione 120).
Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia \(\ell\) il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione \((x_n,y_n)\) tale che
\(x_n^2+y_n^4\to+\infty\qquad\) e \(\qquad x_n^2+y_n^2\to\ell\)
Per quanto visto sopra sappiamo che esiste \(n_k\to +\infty\) tale che
\(x_{n_k}^2+y_{n_k}^2\to +\infty\)
il che forza \(\ell=+\infty\).
Nel caso specifico in realtà non serve, e si può by-passare in questo modo. Sia \(\ell\) il liminf che ci interessa. Per la nota caratterizzazione esiste una successione \((x_n,y_n)\) tale che
\(x_n^2+y_n^4\to+\infty\qquad\) e \(\qquad x_n^2+y_n^2\to\ell\)
Per quanto visto sopra sappiamo che esiste \(n_k\to +\infty\) tale che
\(x_{n_k}^2+y_{n_k}^2\to +\infty\)
il che forza \(\ell=+\infty\).
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keine_ahnung
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Re: Limite “distanza”
Adesso ho capito!! Grazie mille!
Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:
\(u^{80}+v^{132} \to +\infty \iff u^2+v^2 \to +\infty\)
Il mio dubbio iniziale era nato dal fatto che nella lezione 4 di AM2_18 durante l’esercizio 9 viene assunto che:
\(u^{80}+v^{132} \to +\infty \iff u^2+v^2 \to +\infty\)