L10 di AM2 17-18 - Diseguaglianza di Lipschitzianità - Caso generale

[GIMUSI]

nella lezione 10 di AM2 17-18, prima dei due “esempi perversi”, si riporta un esempio di funzione su D non convesso a valori in \(\mathbb{R}\) per i quali la lipschitzianità si salva

non mi è chiaro il primo passaggio per cui:

\(|f(y)-f(x)| \leq |f(y)-f(w)|+ |f(w)-f(z)|+ |f(z)-f(x)|\)

(immagino sia banale ma non mi è molto chiaro ; forse per diseguaglianza triangolare )

Inoltre alla fine si stabilisce che in generale vale sempre la diseguaglianza seguente:

\(|f(y)-f(x)| \leq M\cdot \mbox{dist}(y,x)\)

Si intende che questa valga sempre anche per funzioni con valori in \(\mathbb{R}^m\)?

[GIMUSI]

...

non mi è chiaro il primo passaggio per cui:

\(|f(y)-f(x)| \leq |f(y)-f(w)|+ |f(w)-f(z)|+ |f(z)-f(x)|\)

...

era banale per l'appunto...

\(|A+B+C| \leq |A|+ |B|+ |C|\)

[Massimo Gobbino]

Inoltre alla fine si stabilisce che in generale vale sempre la diseguaglianza seguente:

\(|f(y)-f(x)| \leq M\cdot \mbox{dist}(y,x)\)

Si intende che questa valga sempre anche per funzioni con valori in \(\mathbb{R}^m\)?

Sì, ma il punto non è tanto avere m variabili in arrivo. Il punto è che, anche con una sola variabile in arrivo, se l'insieme non è convesso non si può, da una stima sulla norma del gradiente del tipo \(|\nabla f(x)|\leq M\) per ogni x, dedurre che

\(|f(y)-f(x)|\leq M|y-x|\)

Questo è possibile solo se y e x "si vedono", cioè se tutto il segmento di estremi x ed y è contenuto nella zona in cui vale la stima sul gradiente.

Altrimenti (ad esempio quando la zona è il ferro di cavallo, o la corona circolare meno un raggio, o lo spiralone, come negli esempi perversi), vale sempre comunque che

\(|f(y)-f(x)|\leq M\cdot\mbox{dist}(y,x)\)

dove con quel dist(x,y) si indica l'inf della lunghezza di tutte le spezzate che congiungono x ed y restando nella zona in cui vale la stima. Ad esempio, nell'esempio perverso 1, la dist tra i punti x ed y segnati in figura si ottiene praticamente "facendo tutto il giro". In altre parole, quei due punti sono abbastanza lontani, e non molto vicini come sembrerebbe dal mondo esterno.

In questo modo continua a valere la Lipschitzianità che uno si aspetterebbe, ma non rispetto alla distanza del mondo esterno, ma rispetto ad una distanza calcolata restando nell'insieme, senza mai poter uscire.

[GIMUSI]

...In questo modo continua a valere la Lipschitzianità che uno si aspetterebbe, ma non rispetto alla distanza del mondo esterno, ma rispetto ad una distanza calcolata restando nell'insieme, senza mai poter uscire...

sì questo era chiaro, mi era venuto il dubbio (stupido in effetti) che la cosa fosse ristretta solo per funzioni a valori in \(\mathbb{R}\), ma rivedendo meglio i passaggi in effetti non ce n'è alcun motivo

mi chiedo piuttosto come si faccia per n>3 a stabilire quale sia la \(dist(x,y)\)

lo si vedrà nel prosieguo del corso?

[Massimo Gobbino]

sì questo era chiaro, mi era venuto il dubbio (stupido in effetti) che la cosa fosse ristretta solo per funzioni a valori in \(\mathbb{R}\), ma rivedendo meglio i passaggi in effetti non ce n'è alcun motivo

Non c'è alcun motivo: tutte le volte che vale una Lischitzianità classica si segmenti (e vale anche per funzioni vettoriali pur di usare la norma della matrice Jacobiana), allora vale una Lipschitzianità modificata con la dist fatta sulle poligonali, che poi sono unioni di segmenti.

mi chiedo piuttosto come si faccia per n>3 a stabilire quale sia la \(dist(x,y)\)

lo si vedrà nel prosieguo del corso?

In realtà il calcolo esplicito non è mai banale, nemmeno in dimensione 3 (e a pensarci bene nemmeno in dimensione 2). Il calcolo esplicito si può fare solo in esempi molto semplici (ma non vale forse lo stesso anche per trovare max/min di funzioni di due variabili?).

Una cosa che sarebbe carina è mostrare che, sotto certe ipotesi, esiste una curva la cui lunghezza realizza la dist. Ma qui siamo già più sull'ordine di idee del calcolo delle variazioni. Quindi no, non arriveremo a tanto nel corso di analisi 2 .