Dimostrazione "tirchia" di Schwarz?

[C_Paradise]

Ciao a tutti!
Riguardando la dimostrazione del teorema dell'inversione dell'ordine di derivazione fatta a lezione ho notato che nelle ipotesi vogliamo la continuità di entrambe le derivate miste nel punto considerato, ma ho letto che basterebbe la continuità di una delle due per dimostrare l'esistenza dell'altra e l'uguaglianza tra le due. Noi però usiamo la continuità di entrambe le derivate miste nella dimostrazione, come si potrebbe dimostrare Schwarz con queste ipotesi, ovvero le stesse ma con la continuità di una sola derivata mista nel punto? È effettivamente possibile?

[Massimo Gobbino]

Gran bella domanda: quanto si può risparmiare nella dimostrazione del teorema di Schwarz?

Non ho una risposta immediata ... Diciamo che la dimostrazione vista a lezione (che poi è la "solita") si può stiracchiare indebolendo le ipotesi fino a questo punto

• [tex]f_{xy}(x,y)[/tex] esiste in [tex](-r,r)\times(-r,r)[/tex] ed è continua in (0,0),
• [tex]f_x(x,y)[/tex] esiste in [tex](-r,r)\times(-r,r)[/tex] ed è continua rispetto alla variabile x nei punti dell'asse y che cascano nell'intorno, cioè
  
  [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}f_x(x,y)=f_x(0,y)\quad\quad\forall y\in(-r-r)[/tex].

Allora [tex]f_{yx}(0,0)[/tex] esiste e coincide con [tex]f_{xy}(0,0)[/tex].

Lascio agli interessati il problema di dimostrare questa variante (si tratta solo di ottimizzare la solita dimostrazione), e di scoprire (cosa che in questo momento non so) se si possono indebolire ulteriormente le ipotesi (ad esempio quel minimo di continuità richiesta sulla derivata parziale rispetto ad x).