Limite in 2 variabili

[Joe452b]

Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno gentilmente mi spiegasse come devo procedere di fronte alla dimostrazione dell'esistenza o meno di un limite che tende a +infinito, in presenza di una restrizione del dominio.
In particolare chiederei se possibile la spiegazione del primo esercizio sui limiti lasciato in questa sezione del.forum.
Grazie in anticipo

[ghisi]

Questo non è il posto giusto in cui mettere gli esercizi, e quindi verrà poi spostato. Inoltre dovresti mettere il testo dell'esercizio direttamente nel post. Per questa volta lo faccio io:

[tex]\displaystyle\lim_{x^2+y^2\\to + \infty} x^4 + y^6.[/tex]

In questo caso il limite esiste su tutto [tex]\mathbb{R}^2[/tex] e vale [tex]+\infty[/tex], quindi esiste e vale [tex]+\infty[/tex] anche su ogni sottodominio. Per quanto riguarda il limite su tutto [tex]\mathbb{R}^2[/tex] ci sono moltissimi modi per dimostrarlo (è somma di due quantità positive di cui almeno una tende all'infinito). Una dimostrazione formale è usare che [tex]z^n + 1 \geq z^2[/tex] se [tex]z\geq 0[/tex] e [tex]n> 2[/tex], da cui:

[tex]x^4 + y^6 \geq x^2 + y^2 - 2.[/tex]

[Joe452b]

Grazie!