max,min,inf,sup su insiemi non limitati

[r.et3]

vorrei sapere se esiste un metodo standard per trovare inf , sup e massimi e minimi quando il dominio è non limitato,
e come capire se il sup/inf è anche massimo/minimo .
grazie

[ghisi]

No non esiste nessun metodo *standard* che possa funzionare sempre. Ci sono alcune cose che ogni tanto funzionano. Una delle prime cose da fare è cercare di capire quale e' il comportamento all'infinito (sul dominio in questione!).
Ad esempio se c'e' il limite all'infinito allora grazie a Weiestrass generalizzato sai che esistono il massimo e/o il minimo che si trovano poi con la procedura standard (punti stazionari, punti in cui la funzione non è regolare e comportamento sul bordo). Ad esempio se il limite è [tex]+\infty[/tex] allora il sup è [tex]+\infty[/tex] ed esiste il minimo; se il limite è zero e la funzione assume solo valori non negativi allora l'inf è 0 (e potrà essere o meno un minimo) ed esiste il massimo, e così via...
Se invece il limite non c' è ma ci sono curve (sempre nel dominio!!!) su cui la funzione tende a [tex]+\infty[/tex] e altre su cui tende a [tex]-\infty[/tex] allora il sup è [tex]+\infty[/tex] e l'inf [tex]-\infty[/tex]; se ci sono curve su cui tende ad 1 e riesci a provare che la funzione è sempre [tex]\leq 1[/tex] allora il sup è 1 e potrà essere o meno un massimo a seconda che ci sia un punto in cui vale 1 (e lo trovi tra i punti stazionari, punti in cui la funzione non è regolare o sul bordo).
Oppure potresti riuscire a trovare un valore assunto dalla funzione che riesci a dimostrare essere un massimo e/o un minimo assoluto: ad esempio [tex]\sin^2(x^2y) + \sin^2 (x+y)[/tex] è una funzione non negativa che si annulla quindi il minimo è 0.
Si potrebbe continuare all'infinito con casi vari, come vedi non c'è una strategia unica...

[r.et3]

nel caso in cui inf e sup siano uguali a max e min rispettivamente li trovo sempre tra i punti stazionari/singolari ?
cioè basta che verifico che il massimo/minimo assoluto trovato con i metodi classici : punti stazionari, singolari , bordo ... è uguale al sup/inf ?
questo vale anche nei domini limitati ?

altra cosa:
in un dominio limitato devo sempre ricavare le condizioni sulle singole variabili ?

[ghisi]

nel caso in cui inf e sup siano uguali a max e min rispettivamente li trovo sempre tra i punti stazionari/singolari ?
cioè basta che verifico che il massimo/minimo assoluto trovato con i metodi classici : punti stazionari, singolari , bordo ... è uguale al sup/inf ?
questo vale anche nei domini limitati ??

Se esistono il massimo e/o il minimo ovviamente coincidono con inf e/o sup. Quindi la difficoltà è DIMOSTRARE che il massimo e/o il minimo esistono, una volta fatto questo per trovare i punti basta lavorare con i metodi classici, non ha importanza che il dominio sia limitato o no.

altra cosa:
in un dominio limitato devo sempre ricavare le condizioni sulle singole variabili ?

Qui non capisco prorpio cosa vuoi dire

[volm92]

Non riesco a muovermi con questo esercizio. Una mano?

Funzione: [tex]xe^{-(x^2+y^2)[/tex]

Bisogna trovare il numero di: Minimi Globali, Minimi Locali, Massimi Globali, Massimi Locali e Altri Stazionari.

Grazie!

[GIMUSI]

Non riesco a muovermi con questo esercizio. Una mano?

Funzione: [tex]xe^{-(x^2+y^2)[/tex]

Bisogna trovare il numero di: Minimi Globali, Minimi Locali, Massimi Globali, Massimi Locali e Altri Stazionari.

Grazie!

allego lo svolgimento...prima di cercare massimi e minimi è opportuno fare uno studio preliminare con weierstrass

PS questa funzione mi ha fatto venire in mente una possibile soluzione per la famigerata funzione hard hard della lezione 19

[nomeutente]

ES. di inf/sup/ max/ min 6
Funzione: x^2 (x^2 + y^2 +1)^-1 ,sul piano
Funzione: x^2 + y^2 + 4 arctan (xy) ancora sul piano

[Gabe]

Aggiungo questo esercizio di Inf - Sup - Max - Min 7:

[tex]f(x, y)=x+arctan(x+y)[/tex] nell'insieme [tex]A=\{(x, y) \in \Re^2 : x^2-2x \leq 0\}[/tex]

ho provato varie volte ma mi viene sempre un risultato diverso da quello riportato nelle soluzioni, ovvero: [tex]Sup: 2+\frac{\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]max: 0, Inf: \frac{-\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]min: 0[/tex]

[GIMUSI]

ES. di inf/sup/ max/ min 6
Funzione: x^2 (x^2 + y^2 +1)^-1 ,sul piano
Funzione: x^2 + y^2 + 4 arctan (xy) ancora sul piano

allego lo svolgimento dei due esercizi

[nomeutente]

Grazie GIMUSI
Ti chiedo un favorino: puoi descrivere l'approccio più generale per questi problemi?
PS. Perché calcoli la funzione in 0 all'inizio?

[GIMUSI]

Grazie GIMUSI
Ti chiedo un favorino: puoi descrivere l'approccio più generale per questi problemi?

non è mai facile individuare una procedura unica che copra tutti i casi possibili

innanzitutto ti consiglio di riguardare bene tutti gli esempi fatti a lezione (n°12 e successive)

senza pretendere di coprire la generalità dei casi, una procedura indicativa potrebbe essere la seguente:

1) studio della continuità e dominio della funzione: dov’è definita la funzione, eventuali punti singolari, ecc.

2) studio del comportamento sul bordo e/o all’infinito e/o nei punti singolari

3) determinazione del sup e dell’inf (che esistono sempre)

a questo punto:

se sup=[tex]+\infty[/tex] e inf=[tex]-\infty[/tex] allora max e min non esistono

altrimenti sulla base dei teoremi di weierstrass si possono ottenere condizioni sufficienti per l’esistenza del max o del min o di entrambi (vd. anche lezione 103 AM01 2010/11)

se max e min esistono vanno ricercati tra i seguenti:
- punti del bordo
- punti singolari
- punti stazionari

...
PS. Perché calcoli la funzione in 0 all'inizio?

la necessità di determinare f nell’origine (o in un altro punto del dominio) è legata all’applicazione del teorema di weierstrass e sue varianti

[GIMUSI]

Aggiungo questo esercizio di Inf - Sup - Max - Min 7:

[tex]f(x, y)=x+arctan(x+y)[/tex] nell'insieme [tex]A=\{(x, y) \in \Re^2 : x^2-2x \leq 0\}[/tex]

ho provato varie volte ma mi viene sempre un risultato diverso da quello riportato nelle soluzioni, ovvero: [tex]Sup: 2+\frac{\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]max: 0, Inf: \frac{-\pi}{2}[/tex] [tex], P.ti[/tex] [tex]min: 0[/tex]

allego lo svolgimento con il quale ottengo i risultati che hai indicato

[Gabe]

Si giusto, continuavo a disegnare l'insieme male

[volm92]

Forse non è l'argomento giusto per fare questa domanda, ma io ci provo lo stesso:

[tex]f(x,y,z)=x^2-xy^2+z^2[/tex] sul dominio [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2+1=0\}[/tex]

Determinare MASSIMO e MINIMO di [tex]f[/tex] sul dominio [tex]D[/tex]

Come posso procedere con i moltiplicatori di Lagrange? Mi ci intrigo

Grazie a chi mi risponderà!

[GIMUSI]

Forse non è l'argomento giusto per fare questa domanda, ma io ci provo lo stesso:

[tex]f(x,y,z)=x^2-xy^2+z^2[/tex] sul dominio [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2+1=0\}[/tex]

Determinare MASSIMO e MINIMO di [tex]f[/tex] sul dominio [tex]D[/tex]

Come posso procedere con i moltiplicatori di Lagrange? Mi ci intrigo

Grazie a chi mi risponderà!

credo che il dominio corretto sia [tex]D=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2-1=0\}[/tex] altrimenti l'esercizio non avrebbe senso

inoltre non si stratta di un problema di max/min su insiemi illimitati ma di un problema di max/min vincolati (su un compatto)

allego un possibile svolgimento con due metodi: il primo di sostituzione, il secondo con lagrange