Il mio obiettvo è stabilire quali sono l'estremo inferiore e superiore della funzione f(x,y) = 2x + 2y - x^2 * y^2 ristretta all'insieme A ={ (x,y) di R^2 : 0 =< x , 0 =< y <= 1}
per trovare il limite superiore ho svolto il limite all'infinito lungo la direzione (t,0)
lim t->+inf di f(t,0) = lim t->inf (2t) = +inf e quindi estr sup = +inf
per trovare l'estremo inferiore mi sono dato alla creatività, ed è qui che vorrei sapere se ho svolto passaggi corretti oppure sbagliati matematicamente
ho scritto il limite in coordinate poleri (P = rho , T = theta)
lim P->+inf di ( 2PcosT + 2PsinT - P^4 cos^2(T) sin^2(T) )
dato che l'insieme su cui devo studiare questo limite all'infinito è un rettangolo, ho pensato che l'angolo theta, man mano che il vettore va all'infinito, deve necessariamente tendere a 0
per cui ho imposto anche che T -> 0, ma allora T-> 1/P
lim P->+inf di ( 2Pcos(1/P) + 2Psin(1/P) - P^4 cos^2(1/P) sin^2(1/P) ) =
sviluppando coseni e seni con taylor :
= lim P->+inf di ( 2P + 2P/P - P^4 / P^2 ) = lim P->+inf di ( 2P + 2 - P^2 ) = -inf e da qui estr inf = -inf
Ciò che ho scritto è corretto oppure è una enorme bestialità? Nel secondo caso, come andrebbe svolto correttamente l'esercizio proposto?
Limite all'infinito in due variabili, validità metodo
Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo
per il limite inferiore credo sia sufficiente fare una cosa analoga sulla restrizione y=1
allego qui lo svolgimento con qualche aggiunta non essenziale
PS credo che questo tipo di esercizi vada postato nella sezione "Calcolo Differenziale in più variabili"
allego qui lo svolgimento con qualche aggiunta non essenziale
PS credo che questo tipo di esercizi vada postato nella sezione "Calcolo Differenziale in più variabili"
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GIMUSI
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Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo
DaroB94: quello che hai scritto non si può definire "enorme bestialità", ma sicuramente "enorme brutalità". Per trovare inf/sup bastano le due restrizioni y=0 e y=1, come nelle prime 2 righe della soluzione di GIMUSI. Il resto, come osservato, non serve.
Già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...
Già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...
Re: Limite all'infinito in due variabili, validità metodo
Ok, effettivamente è molto più semplice così, grazie per l'aiuto