Limiti in 2 variabili su un dominio

[Filippo.ingrasciotta]

Ciao a tutti,
Volevo chiedere se mi potete fare un piccolo riassunto di limiti all'infinito in due variabili su un dato dominio D perché guardando anche sulle video lezioni non mi è sembrato di vedere limiti su un dominio specifico ma su tutto R^2 ( se dico male correggetemi!!)

Se può essere d'aiuto per la spiegazione metto anche un limite da calcolare su dei domini, così da poter usare come esempio:

Lim (x^2 +y^2 --> +oo) di (x+y)* arctan(y^2)
Da calcolare su
- R^2
- D1 {0<=y<=x}
- D2 { 0<=y<=1 e x>=0}
- D3 {x+y>=1}
- D4 { x^1/2 <=y<=x }
- D5 { x>=1 e 0<=y<=1/x}

Ho scritto tanti domini lo so però se riuscite a spiegarmi come si fa una volta capito il metodo sarà molto schematica la cosa.

Grazie a tutti in anticipo

[Massimo Gobbino]

Trattandosi di limiti in 2 variabili, inizio a spostare nella sezione giusta.

[Filippo.ingrasciotta]

Grazie, non mi ero accorto di aver sbagliato sezione

Spero in un intervento illuminante...

[ghisi]

La differenza tra i limiti all'infinito su tutto lo spazio e quelli su domini e' che nel secondo caso hai delle restrizioni in piu': ad esempio per dimostrare che il limite non esiste devi considerare due curve su cui il limite e' diverso ma che stanno nel dominio. Vediamo il tuo limite con [tex]f(x,y) = (x+y)\arctan(y^2)[/tex]. Su [tex]R^2[/tex] il limite non esiste: basta considerare [tex]f(0,y)[/tex], che per [tex]y\rightarrow +\infty[/tex] va a [tex]+\infty[/tex], mentre per [tex]y\rightarrow -\infty[/tex] va a [tex]-\infty[/tex]. Nel caso del dominio [tex]D_1[/tex] ancora il limite non esiste ma le due curve di prima non stanno in [tex]D_1[/tex] per [tex]y[/tex] molto grandi o molto negativi. Quindi devi cambiare curve. Se prendi [tex]f(x,x)[/tex] questa tende a [tex]+\infty[/tex] quando [tex]x\rightarrow +\infty[/tex], se consideri [tex]f(x,0)[/tex] invece è costantemente nulla. Sul dominio [tex]D_4[/tex] invece il limite esiste ed è [tex]+\infty[/tex], infatti quando [tex]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex] in [tex]D_4[/tex] allora sia [tex]x[/tex] che [tex]y[/tex] tendono a [tex]+\infty[/tex]. Nel dominio [tex]D_5[/tex] il limite esiste ed è [tex]0[/tex]. Quando infatti [tex]x^2+y^2\rightarrow+\infty[/tex] in [tex]D_5[/tex] allora [tex]x\rightarrow +\infty[/tex] mentre [tex]y\rightarrow 0[/tex] (non basta!), inoltre si ha
[tex]0\leq f(x,y) \leq (x+1)\displaystyle \frac{1}{x^2}.[/tex]
In generale se vuoi dimostrare che un limite esiste in un dominio per prima cosa devi capire come è fatto il dominio (la prima domanda è chi può andare all'infinito in quel dominio) poi se ti servono delle stime queste devono essere valide nel dominio in questione (non in generale).

[Filippo.ingrasciotta]

Penso proprio di aver capito, grazie mille per la spiegazione.

Se nel fare esercizi tornerò in questo post a far domande